Oppgaven er hentet fra eksamen R2 H25 del 1 oppgave 6.

Aritmetisk og geometrisk rekke

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

\[-3 + 0 + 3 + \dots + 69 \]

Oppgave

Bestem summen av rekken.

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

\[5 + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots \]

Oppgave

Bestem konvergensområdet til rekken.

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

Oppgave

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Fasit

a) \(825\)
b) \(x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle\)
c) \(14 \, \mathrm{m}\)

Løsningsforslag

a

Den aritmetiske rekken \(-3 + 0 + 3 + \ldots + 69\) har \(a_1 = -3\), \(d = 3\) og siste ledd \(a_n = 69\).

\[a_n = a_1 + (n-1)d \implies 69 = -3 + (n-1)\cdot 3 \implies n = 25 \]

\[s_{25} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-3 + 69}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825 \]

Summen av rekken er \(\underline{\underline{825}}\).

b

Rekken \(5 + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots\) er geometrisk med kvotient \(k = \dfrac{1}{2} - x\).

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k| < 1\):

\[\left|\frac{1}{2} - x\right| < 1 \implies -1 < \frac{1}{2} - x < 1 \implies -\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \]

Konvergensområdet er \(\underline{\underline{x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle}}\).

c

Ballen faller \(2 \, \mathrm{m}\), spretter opp \(2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}\), faller ned \(2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}\), spretter opp \(2 \cdot 0{,}75^2 \, \mathrm{m}\), osv.

\[\begin{aligned} d &= \underbrace{2}_{\text{første fall}} + 2 \cdot \underbrace{\left(2\cdot 0{,}75 + 2\cdot 0{,}75^2 + \ldots\right)}_{\text{opp og ned}} \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{2 \cdot 0{,}75}{1 - 0{,}75} \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{1{,}5}{0{,}25} \\ &= 2 + 12 = 14 \end{aligned} \]

Ballen beveger seg totalt \(\underline{\underline{14 \, \mathrm{m}}}\).

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekker

Oppgave	Fag	År	Oppg
Annuitetslån og serielån Pia	S2	V19	2-4
Aritmetisk rekke med formel	S2	V19	1-4
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Aritmetisk rekke med sum	S2	H19	1-2
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Annuitetslån og serielån	S2	V20	2-4
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Sum av aritmetisk rekke	S2	H20	1-2
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Spareavtale og aksjefond	S2	V21	2-2
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Aritmetisk rekke med sumformel	S2	H21	1-3
Camillas aksjefond	S2	H21	2-2
Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser	S2	V22	1-3
Sparing og annuitetslån Camilla	S2	V22	2-3
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Sparing og annuitetslån	S2	H22	2-2
Mønster med sirkler i figurer	2P-Y	V23	1-4
Sum av aritmetisk rekke med kode	R2	V23	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Annuitetslån	S2	V23	2-1
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Aritmetisk mur	S2	E22	1-2
Begrunn at uendelig rekke konvergerer	S2	H22	1-2
Idas jakke	S2	H22	1-5
Summen av repeterende brøker	S2	Ingen	Ingen
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke	S2	E22	1-3
Aritmetisk rekke	S2, R2	H23	1-2b
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Summer av oddetall og programmering	1T	V24	2-4
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Kubikktall	S2	V24	2-4
Olivias annuitetslån	S2	V24	2-3
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Oles studielån	S2	H24	2-5
Rekursiv formel og programmering	S2, R2	H24	2-4
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Noras sparing og lån	S2, R2	V25	2-4
Ukjente programmer S2 v25	S2	V25	1-4
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Mathias sine lån for å kjøpe bil Mathias sine lån for å kjøpe bil	S2	H25	2-4
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2

Geometrisk vekst

Oppgave	Fag	År	Oppg
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Prisvekst og prisfall sammenligning	2P-Y, 2P	V23	2-3
Renter og dobbelttid	S1	H23	2-3
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Avisabonnenter og eksponentialfunksjon	1P	H24	2-1
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Lars sin spareplan	1P	V25	1-7
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Bankinnskudd med rente bakover	1T	H25	1-4

Aritmetisk rekke

Oppgave	Fag	År	Oppg
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Aritmetisk rekke	S2, R2	H23	1-2b
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2

Konvergens

Oppgave	Fag	År	Oppg
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2

Uendelig rekke

Oppgave	Fag	År	Oppg
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6