Sinusfunksjon og egenskaper

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 1-5

a) \(\underline{\underline{x \in \{3,\, 7,\, 15,\, 19\}}}\)
b) Amplitude: \(\underline{\underline{2}}\), likevektslinje: \(\underline{\underline{y = -1}}\), periode: \(\underline{\underline{12}}\), forskyvning: \(\underline{\underline{2 \text{ mot høyre}}}\)

a

Vi skal løse \(f(x) = 0\):

Vi setter \(u = \dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}\) og løser \(\sin u = \dfrac{1}{2}\).

Sinus er \(\dfrac{1}{2}\) for \(u = \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\) og \(u = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi = \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi\), der \(n \in \mathbb{Z}\).

Tilfelle 1:

Tilfelle 2:

Vi finner løsningene i \(D_f = \langle 0, 20 \rangle\):

• Tilfelle 1: \(x = 3 + 12n\) gir \(x = 3\) (for \(n=0\)) og \(x = 15\) (for \(n=1\)).
• Tilfelle 2: \(x = 7 + 12n\) gir \(x = 7\) (for \(n=0\)) og \(x = 19\) (for \(n=1\)).

\(\underline{\underline{x \in \{3,\, 7,\, 15,\, 19\}}}\)

b

Vi skriver funksjonen om til standardform \(f(x) = A\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}(x - x_0)\right) + d\):

Dette leser vi av slik (vi trekker ut \(\dfrac{\pi}{6}\) fra parentesen: \(\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}(x-2)\)):

• Amplitude: \(A = \textcolor{seagreen}{2}\)
• Likevektslinje: \(y = \textcolor{steelblue}{-1}\) (vertikal forskyvning \(d = -1\))
• Periode: \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12\)
• Horisontal forskyvning: \(x_0 = \textcolor{tomato}{2}\) mot høyre (grafen er forskjøvet 2 enheter i positiv \(x\)-retning sammenlignet med \(2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}x\right) - 1\))