Trigonometri i rettvinklet trekant
Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at \(\tan u \cdot \tan v = 1\)
Oppgave
- Vis at Tom har rett.
- Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler \(u\) og \(v\).
Fasit
a) –
b) Påstanden stemmer alltid
Løsningsforslag
a
\[\begin{aligned} \tan u&=\frac{6}{8} \\ \tan v&=\frac{8}{6}\\ \tan u \cdot \tan v&=\frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6}=\frac{\cancel{ 6 }}{\cancel{ 8 }} \cdot \frac{\cancel{ 8} }{\cancel{ 6 }}=1 \end{aligned} \]
Tom har rett. \(\underline{\underline{ \tan u \cdot \tan v = 1 }}\)
b
For de to spisse vinklene \(u\) og \(v\) i en rettvinklet så vil de alltid ha «motsatte» hosliggende og mostående kateter. La oss kalle den ene kateten for \(a\) og den andre for \(b\). Da er
\[\tan u =\frac{a}{b} \quad \text{og}\quad \tan v=\frac{b}{a} \]
Hvis vi multipliserer disse må vi alltid få 1.
\[\tan u \cdot \tan v = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}= 1 \]
Påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler.