Oppgaven er hentet fra eksamen R2 V25 del 1 oppgave 7.

Vinkel i sirkel og trigonometri

I en sirkel er radius lik 3.

Figuren nedenfor viser en vinkel \(v\) der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er 4.

Vinkel i sirkel

Oppgave

Hvor stor er vinkelen \(v\) gitt i
- radianer?
- grader?

Om en annen vinkel \(u\) får du vite at \(u \in \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle\) og \(\tan u = 2\).

Oppgave

Bestem de eksakte verdiene til \(\sin u\) og \(\cos u\).

Fasit

a) 4/3 radianer og omtrent 75º
b) \(\sin u = \frac{2}{\sqrt{ 3 }}\) og \(\cos u =\frac{1}{\sqrt{ 3 }}\)

Løsningsforslag

a

Radius \(r=3\) og buelengden \(b=4\).

\[v=\frac{b}{r}=\frac{4}{3} \]

Det går \(360\degree\) på \(2\pi\) radianer.

\[v_{\text{grader}}=\frac{4}{3} \cdot \frac{360}{2\pi}=\frac{4}{2} \cdot \frac{360}{3\pi}=2 \cdot \frac{120}{\pi}=\frac{240}{\pi} \approx 75 \degree \]

Vinkelen er \(\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}\) radianer og omtrent \(\underline{\underline{ 75 \degree }}\).

b

Hvis \(\tan u =2\) så er \(\frac{mk}{hk}=2\). Hvis vi gir hosliggende katet lengden 1, så blir motstående katet 2. Da blir hypotenusen

\[h=\sqrt{ 1^{2}+ 2^{2}}=\sqrt{ 5 } \]

Vi kan dermed sette opp eksakte verdier for \(\sin u\) og \(\cos u\).

\[\sin u = \frac{mk}{h}=\underline{\underline{ \frac{2}{\sqrt{ 5 }} }} \quad \text{og} \quad \cos u = \frac{hk}{h}=\underline{\underline{ \frac{1}{\sqrt{ 5 }} = \frac{\sqrt{ 5 }}{5} }} \]

Sensorveiledning · 4 poeng

a) (2 poeng) 1 poeng for å finne vinkelen i radianer og 1 poeng for å finne vinkelen i grader. Kandidater som setter \(\pi \approx 3\) for å regne ut vinkelen i grader kan få full uttelling.
b) (2 poeng) 1 poeng for å finne sinusverdi og 1 poeng for å finne cosinusverdi. En god strategi som ikke fører helt fram kan også gi 1 poeng.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Trigonometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C	1T	H21	1-2
Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a	1T	H21	2-5
Eksakt omkrets og arealforhold i firkant	1T	V22	2-3
Rettvinklet trekant med tan B og tre tester	1T	V22	1-3
Cosinussetning med to løsninger	1T	H22	2-4
Sirkel med diameter og innskrevet trekant	1T	H22	2-3
Bevis for grenseverdien til sin v delt på v	R2	V23	1-5
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Endevegg hus areal og takvinkel	1P-Y BA	V23	2-1
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Trigonometri og effekttrekant	1P-Y EL	V23	1-4
Areal av trekant i sirkel	1T	V23	2-5
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1	1T	V23	1-1
Vis at (sin u) / (cos u) = tan u	1T	H22	1-1
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Likesidet trekant og cos 60°	1T	H23	1-1
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Strømproduksjon, trekant og resistans	1P-Y EL	H23	1-4
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
To trekanter og størst areal	1T	H23	1-4
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Lysbrytning i vann	1T	V24	2-2
Trekant med arealsetning og cosinussetning	1T	V24	2-3
Trigonometri i rettvinklet trekant	1T	V24	1-1
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Sinusfunksjon og egenskaper	R2	V24	1-5
Areal av firkant ABCD med trigonometri	1T	H24	2-6
Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen	1T	H24	1-4
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Radianer og eksakte trigonometriske verdier	R2	H24	1-4
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Sinusfunksjon og cosinusfunksjon	R2	H24	1-5
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant	1T	H24	1-1
Trigonometrisk funksjon og likning	R2	V25	1-4
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Trigonometri med arealsetning og cosinus	1T	V25	1-5
Sanne og usanne påstander om fart og vinkel	R2	H25	1-5
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Trigonometriske likninger og antall løsninger	R2	H25	1-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Kledning og takkonstruksjon	1P-Y BA	H25	2-1
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Trekantareal og sin 45 grader	1T	H25	1-5
Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold	1P-Y EL	H24	1-5
Lukas sin ukjente trekant	1P-Y EL	V25	1-5
Bruk enhetssirkel til å finne sinus og cosinusverdier	1P-Y EL	V24	1-4
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26	R2	V26	1-4
Trigonometriske verdier og likning R2 V26	R2	V26	1-3
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4
Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26	1T	V26	1-7
Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26	1T	V26	2-2
Transformator og effekttrekant	1P-Y EL	V26	2-1
Trekant med tangens lik 1 1T V26	1T	V26	1-6
Trevirke-avfall, trappeformel og loftstige	1P-Y BA	V26	2-1
Effekttrekant for motor Effekttrekant for motor	1P-Y EL	H24	2-1
Felix sine effektdiagrammer Felix sine effektdiagrammer	1P-Y EL	H25	1-5

Enhetssirkel

Oppgave	Fag	År	Oppg
Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen	1T	H24	1-4
Radianer og eksakte trigonometriske verdier	R2	H24	1-4
Bruk enhetssirkel til å finne sinus og cosinusverdier	1P-Y EL	V24	1-4
Trigonometriske verdier og likning R2 V26	R2	V26	1-3