Vinkel i sirkel og trigonometri
I en sirkel er radius lik 3.
Figuren nedenfor viser en vinkel \(v\) der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er 4.
Oppgave
- Hvor stor er vinkelen \(v\) gitt i
- radianer?
- grader?
Om en annen vinkel \(u\) får du vite at \(u \in \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle\) og \(\tan u = 2\).
Oppgave
- Bestem de eksakte verdiene til \(\sin u\) og \(\cos u\).
Fasit
a) 4/3 radianer og omtrent 75º
b) \(\sin u = \frac{2}{\sqrt{ 3 }}\) og \(\cos u =\frac{1}{\sqrt{ 3 }}\)
Løsningsforslag
a
Radius \(r=3\) og buelengden \(b=4\).
\[v=\frac{b}{r}=\frac{4}{3} \]
Det går \(360\degree\) på \(2\pi\) radianer.
\[v_{\text{grader}}=\frac{4}{3} \cdot \frac{360}{2\pi}=\frac{4}{2} \cdot \frac{360}{3\pi}=2 \cdot \frac{120}{\pi}=\frac{240}{\pi} \approx 75 \degree \]
Vinkelen er \(\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}\) radianer og omtrent \(\underline{\underline{ 75 \degree }}\).
b
Hvis \(\tan u =2\) så er \(\frac{mk}{hk}=2\). Hvis vi gir hosliggende katet lengden 1, så blir motstående katet 2. Da blir hypotenusen
\[h=\sqrt{ 1^{2}+ 2^{2}}=\sqrt{ 5 } \]
Vi kan dermed sette opp eksakte verdier for \(\sin u\) og \(\cos u\).
\[\sin u = \frac{mk}{h}=\underline{\underline{ \frac{2}{\sqrt{ 5 }} }} \quad \text{og} \quad \cos u = \frac{hk}{h}=\underline{\underline{ \frac{1}{\sqrt{ 5 }} = \frac{\sqrt{ 5 }}{5} }} \]