Integral med delvis integrasjon og trigonometri
- Regn ut integralet \(\int x^2 \cdot \ln x \, dx\)
- Bestem \(x\) når \(\int_0^x \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \, \mathrm{d}t = 0\) og \(x \in \langle 0, \pi \rangle\).
- Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).
a) \(\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln x - \dfrac{1}{3}\right) + C\)
b) \(x = \dfrac{3}{2}\) og \(x = 2\)
c) Like mye positivt og negativt areal mellom 0 og \(x\)
a
Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at \(x^{2}\) er den faktoren som skal integreres, og \(\ln x\) er faktoren som skal deriveres.
| D | I | |
|---|---|---|
| + | \(\ln x\) | \(x^{2}\) |
| - | \(\frac{1}{x}\) | \(\frac{1}{3}x^{3}\) |
Vi kan altså sette opp
b
Vi løser først det tilhørende ubestemte integralet ved hjelp av variabelskiftet \(u=\pi t+\frac{\pi}{4}\). Da er
Vi gjennomfører variabelskiftet
Vi setter opp det bestemte integralet og setter lik 0.
Vi vet at vi at følgende uttrykk er like
\(x\) er begrenset til intervallet \(\langle 0, \pi\rangle\), derfor får vi kun en gyldig løsning fra likning \((1)\)
Fra likning \((2)\) får vi følgende løsning
Løsningene er \(\underline{\underline{x=\frac{3}{2}}}\) og \(\underline{\underline{x=2}}\).
c
Hvis integralet av \(\int_{0}^{x} f(t) \, dt\) skal være lik 0 så må vi ha nøyaktig like mye areal mellom grafen og \(x\)-aksen på den positive og negative siden av \(x\)-aksen mellom \(0\) og \(x\). For en sinusfunksjon så vil vi like mye areal på begge sider av \(x\)-aksen når funksjonen har gjennomført et heltall antall perioder fra tiden \(t=0\).