Integraler S2 v25
Regn ut integralene
Oppgave
-
\[\int_{0}^{1} (2e^{x}+2x^{2}) \, \mathrm{d}x \]
Oppgave
-
\[\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-6} \, \mathrm{d}x \]
Fasit
a) \(2e-\frac{4}{3}\)
b) \(\ln \left| x^{2}-x-6 \right|+C\)
Løsningsforslag
a
\[\int_{0}^{1} \left( 2e^{x}+2x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ 2e^{x}+\frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}= \left( 2e^{1}+\frac{2}{3}1^{3} \right) -\left( 2e^{0} +\frac{2}{3}0^{3} \right) =2e+\frac{2}{3}-2=\underline{\underline{2e-\frac{4}{3}}} \]
b
Vi ser at den deriverte av uttrykket i nevneren er det samme som telleren, og det er derfor lurt å forsøke variabelskiftet \(\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6}\).
\[\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6} \implies \frac{du}{dx}=\textcolor{seagreen}{2x-1} \iff \frac{du}{\textcolor{seagreen}{2x-1}}=dx \]
Vi substituerer inn i det opprinnelige uttrykket
\[\int \frac{\textcolor{seagreen}{2x-1}}{\textcolor{tomato}{x^{2}-x-6}} \, \mathrm{d}x=\int \frac{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }}{\textcolor{tomato}{u}} \, \frac{\mathrm{d}u}{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }} = \int \frac{1}{\textcolor{tomato}{u}} \, \mathrm{d}u=\ln \left| \textcolor{tomato}{u} \right| +C=\underline{\underline{\ln \left| x^{2} -x -6\right| + C}} \]
Løsning med delbrøkoppspalting
Hvis du velger å løse ved hjelp av delbrøkoppspalting så vil du etter faktorisering få følgende likning
\[2x-1=A(x+2)+B(x-3) \]
Etter integrasjon får du svaret \(\ln \left| x+2 \right| + \ln \left| x-3 \right|+C\), som er det samme svaret som vi får med variabelskiftet skrevet på en annen form.