Oppgaven er gitt ved flere eksamener: S2, R2.Oppgaven er hentet fra eksamen S2 V25 del 1 oppgave 1.

Integraler S2 v25

Regn ut integralene

Oppgave

\[\int_{0}^{1} (2e^{x}+2x^{2}) \, \mathrm{d}x \]

Oppgave

\[\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-6} \, \mathrm{d}x \]

Fasit

a) \(2e-\frac{4}{3}\)
b) \(\ln \left| x^{2}-x-6 \right|+C\)

Løsningsforslag

a

\[\int_{0}^{1} \left( 2e^{x}+2x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ 2e^{x}+\frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}= \left( 2e^{1}+\frac{2}{3}1^{3} \right) -\left( 2e^{0} +\frac{2}{3}0^{3} \right) =2e+\frac{2}{3}-2=\underline{\underline{2e-\frac{4}{3}}} \]

b

Vi ser at den deriverte av uttrykket i nevneren er det samme som telleren, og det er derfor lurt å forsøke variabelskiftet \(\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6}\).

\[\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6} \implies \frac{du}{dx}=\textcolor{seagreen}{2x-1} \iff \frac{du}{\textcolor{seagreen}{2x-1}}=dx \]

Vi substituerer inn i det opprinnelige uttrykket

\[\int \frac{\textcolor{seagreen}{2x-1}}{\textcolor{tomato}{x^{2}-x-6}} \, \mathrm{d}x=\int \frac{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }}{\textcolor{tomato}{u}} \, \frac{\mathrm{d}u}{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }} = \int \frac{1}{\textcolor{tomato}{u}} \, \mathrm{d}u=\ln \left| \textcolor{tomato}{u} \right| +C=\underline{\underline{\ln \left| x^{2} -x -6\right| + C}} \]

Løsning med delbrøkoppspalting

Hvis du velger å løse ved hjelp av delbrøkoppspalting så vil du etter faktorisering få følgende likning

\[2x-1=A(x+2)+B(x-3) \]

Etter integrasjon får du svaret \(\ln \left| x+2 \right| + \ln \left| x-3 \right|+C\), som er det samme svaret som vi får med variabelskiftet skrevet på en annen form.

Sensorveiledning · 4 poeng

a) (2 poeng) 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.
b) (2 poeng) Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om \(C\) utelates i svaret, men det kan tas med i helhetsvurderingen.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2, R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Integral

Oppgave	Fag	År	Oppg
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Gjennomsnitt med algoritme og program	R1	V23	2-7
Grafens lengde med polylinje	R2	V23	2-6
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
To bestemte integraler	R2	V23	1-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Bestemt integral	S2	E22	1-1a
Ubestemt integral	S2	E22	1-1b
Bestemt integral 2	S2	V23	1-1
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Rart integral	S2, R2	Ingen	Ingen
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Volum av tønne ved integrasjon	R2	H23	2-3
Bestemt integral 3	S2, R2	H23	1-1
Ukjent program h23	S2, R2	H23	1-4
Bestemt integral og areal	S2, R2	V24	1-1
Ubestemt integral med substitusjon	R2	V24	1-2
Ubestemt integral v24	S2	V24	1-2
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Integral med ukjent grense	S2	H24	1-1b-c
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Ubestemt integral h24	S2	H24	1-1a
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Bestem f ut fra den deriverte	S2, R2	V25	1-2
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Programmering og numerisk integrasjon	R2	H25	2-4
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Ubestemt integral med delvis integrasjon	R2	H25	1-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Ubestemt integral S2 H2025	S2	H25	1-1
Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf	S2, R2	H25	1-3

Bestemt integral

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bestemt integral 2	S2	V23	1-1
Bestemt integral 3	S2, R2	H23	1-1
Bestemt integral og areal	S2, R2	V24	1-1
Integral med ukjent grense	S2	H24	1-1b-c
Bestem f ut fra den deriverte	S2, R2	V25	1-2
Bestemt og ubestemt integral R2 V26	R2	V26	1-1
Integraler med substitusjon S2 V26	S2	V26	1-1

Substitusjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Ubestemt integral v24	S2	V24	1-2
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Logaritmeligninger	R1	H25	1-2
Bestemt og ubestemt integral R2 V26	R2	V26	1-1
Integraler med substitusjon S2 V26	S2	V26	1-1