Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen R2 H23 del 2 oppgave 3.

Volum av tønne ved integrasjon

Tønne med mål

En tønne er 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 cm. Den største diameteren er 52 cm.

Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.

Oppgave

Bruk blant annet integrasjon til å bestemme volumet av tønnen.

Fasit

\(\underline{\underline{V \approx 145\,562 \, \mathrm{cm}^3 \approx 145{,}6 \, \mathrm{L}}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

Usikkert løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er skrevet av KI og matematikk.net (OpenMathBooks-prosjektet) har en annen løsning. Vi har funnet at \(V \approx 145{,}6 \, \mathrm{L}\), mens matematikk.net sitt løsningsforslag oppgir \(V \approx 437 \, \mathrm{L}\). En sylinder med samme høyde (75 cm) og største radius (26 cm) har volum \(\pi \cdot 26^2 \cdot 75 \approx 159 \, \mathrm{L}\), så 437 L kan ikke være riktig — vi mener vårt svar er korrekt, men vurder selv.

Vi setter opp et koordinatsystem med \(z = 0\) i midten av tønna, slik at tønna strekker seg fra \(z = -37{,}5\) til \(z = 37{,}5 \, \mathrm{cm}\) (høyde 75 cm).

Modell for radiusfunksjonen

Siden tønna er symmetrisk og siden er formet som en parabel, velger vi

\[r(z) = 26 + a \cdot z^2 \]

der \(r(0) = 26 \, \mathrm{cm}\) (største radius, diameter 52 cm).

Randbetingelse: \(r(\pm 37{,}5) = 22{,}5 \, \mathrm{cm}\) (radius i bunn/topp, diameter 45 cm):

\[22{,}5 = 26 + a \cdot 37{,}5^2 \]

\[a = \frac{22{,}5 - 26}{37{,}5^2} = \frac{-3{,}5}{1406{,}25} = -\frac{7}{2812{,}5} \approx -0{,}00249 \]

Volumet som omdreiningslegeme

Tønnen dannes ved å dreie kurven \(r(z)\) om \(z\)-aksen. Volumet er:

\[V = \pi \int_{-37{,}5}^{37{,}5} \bigl[r(z)\bigr]^2 \, \mathrm{d}z \]

Beregning i GeoGebra CAS

a := -7/2812.5
r(z) := 26 + a*z^2
V := pi * Integral(r(z)^2, z, -37.5, 37.5)

GeoGebra CAS-utregning av volumet

GeoGebra gir \(V \approx 145\,561{,}77 \, \mathrm{cm}^3\).

Svar: Volumet av tønnen er \(\underline{\underline{V \approx 145\,562 \, \mathrm{cm}^3 \approx 145{,}6 \, \mathrm{L}}}\).

Sensorveiledning · 4 poeng

Det gis 2 poeng for å finne en funksjon som kan brukes til å bestemme volumet. Det gis i tillegg 1 poeng for å velge rett strategi med rett integral og i tillegg 1 poeng for å regne ut dette integralet rett.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Integral

Oppgave	Fag	År	Oppg
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Gjennomsnitt med algoritme og program	R1	V23	2-7
Grafens lengde med polylinje	R2	V23	2-6
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
To bestemte integraler	R2	V23	1-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Bestemt integral	S2	E22	1-1a
Ubestemt integral	S2	E22	1-1b
Bestemt integral 2	S2	V23	1-1
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Rart integral	S2, R2	Ingen	Ingen
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Bestemt integral 3	S2, R2	H23	1-1
Ukjent program h23	S2, R2	H23	1-4
Bestemt integral og areal	S2, R2	V24	1-1
Ubestemt integral med substitusjon	R2	V24	1-2
Ubestemt integral v24	S2	V24	1-2
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Integral med ukjent grense	S2	H24	1-1b-c
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Ubestemt integral h24	S2	H24	1-1a
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Bestem f ut fra den deriverte	S2, R2	V25	1-2
Integraler S2 v25	S2, R2	V25	1-1
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Programmering og numerisk integrasjon	R2	H25	2-4
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Ubestemt integral med delvis integrasjon	R2	H25	1-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Ubestemt integral S2 H2025	S2	H25	1-1
Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf	S2, R2	H25	1-3

Volum

Oppgave	Fag	År	Oppg
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Kopplam kjølekonteiner og sjøkart	1P-Y NA	V23	1-4
Pastadeig og cannelloni	1P-Y RM	V23	2-1
Tank for skjæreolje og pumpe	1P-Y TP	V23	2-2
Austenitt og anleggsrør	1P-Y TP	H23	2-2
Betonggulv og meterstokk	1P-Y BA	H23	1-4
Blomkålsuppe og kjeler	1P-Y RM	H23	2-1
Bordplate av eik og massetetthet	1P-Y BA, 1P-Y DT	H23	2-3
Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	1P-Y NA	V24	2-2
Stålplate volum og tetthet	1P-Y TP	V24	1-5
Terrassestolper i betong sylinder	1P-Y TP	V24	2-2
Klatrevegg rettavkortet kjegle	2P	V24	2-5
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Kasser av metallplater	1P	H24	2-8
Oljetanker av rustfritt stål	1P-Y TP	H24	2-2
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Brage og oppdrettsanlegg for laks	1P-Y NA	H24	2-2
Fisker og oppbevaringskar	1P-Y NA	H24	1-4
Hans og Pia og frisørdukker	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	2-2
Terrasse med nedfelt sandkasse	1P-Y BA	H24	2-1
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Anitas betongstøp og tilbud	1P-Y BA	V25	2-2
Elevbedrift lager lasagne til skoleavslutning	1P-Y RM	V25	2-2
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Nomogram for omdreiningstall og boring	1P-Y TP	V25	2-1
Rom med skråtak og volum	1P-Y IM	V25	1-4
Sylinderboks med minst overflate	1T	V25	2-5
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Trine og Geir og høyballer til hester	1P-Y NA	V25	2-2
Fiskekar og skrei	1P-Y NA	H25	1-4
MAG-sveising og gassflasker	1P-Y TP	H25	2-1
Melkeproduksjon med kuer	1P-Y NA	H25	2-2
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Sofabord med areal og volum	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	2-2
Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26	R2	V26	1-5
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4
Hamsterhjul-sylinder og Pytagoras	1P-Y TP	V26	2-2
Vekt av stålplate fra volum og tetthet 1P V26	1P	V26	1-8

Omdreiningslegeme

Oppgave	Fag	År	Oppg
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26	R2	V26	1-5
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4