Bestemt integral og areal
En funksjon \(f\) er gitt ved
- Regn ut integralet
\[\int_{-1}^{0} f(x) \, dx \]
b) Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x=-1\) og \(x=1\)
a) \(-\frac{5}{4}\)
b) \(\frac{5}{2}\)
a
Integralet er \(\underline{\underline{-\frac{5}{4}}}\).
b
Jeg finner først nullpunktene ved å faktorisere uttrykket.
Vi har nullpunkter når \(f(x)=0\). Det vil si at vi har nullpunkter når \(x=-\sqrt{ 3 }, x=0, x=\sqrt{ 3 }\). Det er kun nullpunktet \(x=0\) som ligger mellom \(x=-1\) og \(x=1\).
For å finne ut om funksjonen er positiv eller negativ i intervallene så sjekker jeg funksjonsverdien i \(x=-1\) og \(x=1\).
Siden integralet \(\int_{-1}^{0} f(x) \, d < 0\) og det ikke finnes noen nullpunkter for \(x \in \langle-1, 0 \rangle\), så må \(f\) være negativ når \(x \in \langle-1, 0 \rangle\)
\(f\) er altså negativ i intervallet \([-1, 0\rangle\) og positiv i intervallet \(\langle 0 , 1]\). Vi finner arealet ved å ta integralene av hver del (og husker minustegn foran integralet til området som ligger under \(x\)-aksen).
Arealet av området er \(\underline{\underline{\frac{5}{2}}}\).
Du kan utnytte antisymmetrien til \(f\) til å argumentere for at arealet avgrenset av \(x=-1\), \(f\), \(x\)-aksen og \(x=0\) vil være like stort som arealet avgrenset av \(f\), \(x\)-aksen, \(x=0\) og \(x=1\).