To bestemte integraler
Regn ut integralene
Oppgave
- \(\int_{-1}^{1} (4x^3 - x) \, dx\)
- \(\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} \, dx\)
Fasit
a) \(\underline{\underline{0}}\)
b) \(\underline{\underline{\dfrac{3}{2}}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Integranden \(f(x) = 4x^3 - x\) er en odde funksjon, siden
\[f(-x) = 4(-x)^3 - (-x) = -4x^3 + x = -f(x) \]
Integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall \([-a, a]\) er alltid null. Derfor er
\[\int_{-1}^{1} (4x^3 - x) \, \mathrm{d}x = \textbf{0} \]
Alternativt kan vi beregne direkte. En antiderivert er \(F(x) = x^4 - \dfrac{x^2}{2}\), og
\[\left[ x^4 - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \underline{\underline{0}} \]
b
En antiderivert av \(e^{2x}\) er \(\dfrac{e^{2x}}{2}\). Vi får
\[\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{\ln 2} = \frac{e^{2\ln 2}}{2} - \frac{e^{0}}{2} \]
Siden \(e^{2\ln 2} = e^{\ln 4} = 4\), blir dette
\[= \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \underline{\underline{\frac{3}{2}}} \]