Oppgaven er hentet fra eksamen S2 H24 del 1 oppgave 1a.

Ubestemt integral h24

Oppgave

Regn ut integralet
\[\int x^{2} \cdot \ln x \, \mathrm{d}x \]

Fasit

\(\frac{1}{3}x^{3}\left( \ln x-\frac{1}{3} \right)+C\)

Løsningsforslag

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at \(x^{2}\) er den faktoren som skal integreres, og \(\ln x\) er faktoren som skal deriveres.

Hvordan velge hva som skal deriveres og integreres

I lignende oppgaver har vi ofte valgt å derivere den faktoren som er et polynomuttrykk, slik at faktoren blir null etter at vi har derivert en eller flere ganger. I dette tilfellet er det likevel lurt å velge å integrere polynomfaktoren, siden \(\ln x\) er litt vanskelig å integrere. I tillegg ser vi et veldig flott mønster med at \((\ln x)'=\frac{1}{x}\) og vi dermed får en rad i DI-systemet som vi kan integrere produktet av.

	D	I
\(+\)	\(\ln x\)	\(x^{2}\)
\(-\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{1}{3}x^{3}\)

Vi ser at produktet i rad 2 er \(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3}x^{3}\), som vi kan integrere.

Vi kan altså sette opp

\[\begin{aligned} \int x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x &= \ln x \cdot \frac{1}{3}x^{3} - \int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{3} x^{3} \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{3} x^{3}\ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} \, \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} x^{3}+C\\ &=\underline{\underline{\frac{1}{3}x^{3}\left( \ln x-\frac{1}{3} \right)+C}} \end{aligned} \]

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Integral

Oppgave	Fag	År	Oppg
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Gjennomsnitt med algoritme og program	R1	V23	2-7
Grafens lengde med polylinje	R2	V23	2-6
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
To bestemte integraler	R2	V23	1-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Bestemt integral	S2	E22	1-1a
Ubestemt integral	S2	E22	1-1b
Bestemt integral 2	S2	V23	1-1
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Rart integral	S2, R2	Ingen	Ingen
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Volum av tønne ved integrasjon	R2	H23	2-3
Bestemt integral 3	S2, R2	H23	1-1
Ukjent program h23	S2, R2	H23	1-4
Bestemt integral og areal	S2, R2	V24	1-1
Ubestemt integral med substitusjon	R2	V24	1-2
Ubestemt integral v24	S2	V24	1-2
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Integral med ukjent grense	S2	H24	1-1b-c
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Bestem f ut fra den deriverte	S2, R2	V25	1-2
Integraler S2 v25	S2, R2	V25	1-1
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Programmering og numerisk integrasjon	R2	H25	2-4
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Ubestemt integral med delvis integrasjon	R2	H25	1-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Ubestemt integral S2 H2025	S2	H25	1-1
Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf	S2, R2	H25	1-3

Delvis integrasjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Ubestemt integral S2 H2025	S2	H25	1-1