Uendelig geometrisk rekke og desimaltall
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
\[6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \ldots
\]
Oppgave
- Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.
Oppgave
- Forklar at desimaltallet \(0{,}135135135\ldots\) kan skrives som den uendelige geometriske rekken
\[\frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + \cdots \]
Bruk dette til å skrive tallet \(0{,}135135135\ldots\) som en brøk.
Fasit
a) \(s = 4\)
b) \(\dfrac{5}{37}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Rekken \(6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \cdots\) er geometrisk med \(a_1 = 6\) og \(k = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}\).
Siden \(|k| = \frac{1}{2} < 1\), konvergerer rekken.
\[s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{6}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \underline{\underline{4}}
\]
b
Tallet \(0{,}135135135\ldots\) kan skrives som
\[\frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + \cdots
\]
fordi hvert ledd plasserer \(135\) tre desimalplasser lenger ut.
Dette er en uendelig geometrisk rekke med \(a_1 = \frac{135}{1000}\) og \(k = \frac{1}{1000}\):
\[s = \frac{\frac{135}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{135}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{135}{999} = \underline{\underline{\frac{5}{37}}}
\]