Kubikktall
De fem første kubikktallene er \(1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}\) og \(5^{3}\), se figuren over. La \(S_{n}\) være summen av de \(n\) første kubikktallene.
Oppgave
- Beskriv den rekursive sammenhengen mellom \(S_{n}\) og \(S_{n+1}\). Bestem en eksplisitt formel for \(S_{n}\).
- Lag et program som regner ut \(S_{50}\) ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
Fasit
a) \(S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}\) og \(S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right)\)
b) \(S_{50}=1625625\)
Løsningsforslag
2-4a
Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.
\[\begin{aligned} S_{1}&=1^{3}\\ S_{2}&=1^{3}+2^{3}=S_{1}+2^{3}\\ S_{3}&=1^{3}+2^{3}+3^{3}=S_{2}+3^{3} \end{aligned} \]
Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså
\[\underline{\underline{S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}}} \]
For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.
En eksplisitt formel for summene er
\[S_{n}=\underline{\underline{\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right)}} \]
2-4b
Jeg bruker følgende program
S = 0 # starter summen på 0
for n in range(1, 51):
# kjører løkka 50 ganger
S = S + n**3 #legger n^3 til S
print(S)
Programmet gir at \(S_{50}=1 \, 625 \, 625\).