Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

\[F(x) = a \cdot x^b \]

der \(F(x)\) gram er vekten til en fisk som er \(x\) centimeter lang.

Oppgave

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene \(a\) og \(b\). Tegn grafen til \(F\).
Hvor lang er en fisk som veier \(11{,}5 \mathrm{~kg}\) ifølge modellen?
Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((75,\ F(75))\) og \((95,\ F(95))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med \(20\ \%\) ifølge modellen?

Fasit

a) \(a \approx 0{,}00966\), \(b \approx 3{,}00\)
b) \(\approx 106 \, \mathrm{cm}\)
c) \(\approx 210 \, \mathrm{g/cm}\)
d) \(\approx 72{,}8 \, \%\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

KI-løsning

Denne løsningen er skrevet av KI. Løsningen ser riktig ut, men jeg har lyst til å endre på fremgangsmåten slik at det passer bedre med hvordan vi vanligvis løser slike oppgaver i norsk videregående skole.

a

Vi bruker potensregresjon for å finne \(a\) og \(b\) i \(F(x) = a \cdot x^b\).

Regresjon i GeoGebra gir:

\[\underline{\underline{a \approx 0{,}00966 \quad \text{og} \quad b \approx 3{,}00}} \]

Modellen er dermed tilnærmet

\[F(x) \approx 0{,}00966 \cdot x^3 \]

Graf for F(x)

b

Vi løser likningen \(F(x) = 11\,500\):

\[0{,}00966 \cdot x^3 = 11\,500 \]

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

Ifølge modellen er en fisk som veier \(11{,}5 \, \mathrm{kg}\) omtrent \(\underline{\underline{106 \, \mathrm{cm}}}\) lang.

c

Vi beregner \(F(75)\) og \(F(95)\):

\[F(75) = 0{,}00966 \cdot 75^3 \approx 4075 \, \mathrm{g} \]

\[F(95) = 0{,}00966 \cdot 95^3 \approx 8282 \, \mathrm{g} \]

Stigningstallet til linjen gjennom \((75,\ F(75))\) og \((95,\ F(95))\):

\[a = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} = \frac{8282 - 4075}{20} \approx 210 \]

Stigningstallet er \(\underline{\underline{\approx 210 \, \mathrm{g/cm}}}\).

Dette betyr at for fisk med lengde mellom 75 og 95 cm vil vekten øke med cirka 210 gram for hver ekstra centimeter.

d

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden \(1{,}2 \cdot x\). Da blir den nye vekten:

\[F(1{,}2x) = 0{,}00966 \cdot (1{,}2x)^3 = 0{,}00966 \cdot 1{,}2^3 \cdot x^3 = 1{,}2^3 \cdot F(x) \]

\[1{,}2^3 = 1{,}728 \]

Prosentvis økning: \((1{,}728 - 1) \cdot 100 \, \% = 72{,}8 \, \%\)

Vekten vil øke med \(\underline{\underline{72{,}8 \, \%}}\) dersom lengden øker med 20 %.

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i 1P.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Lufttrykk og kokepunkt for vann	1T, 1P	V24	2-5
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Rottebestand og logistisk modell	S2	V20	2-2
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Eksponentiell modell for salg av energidrikker	1P	V23	2-6
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Timelønn og lønnsvekst	S1, R1	V23	2-1
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Antall fiskere og regresjon	1T	H23	2-4
Modell for antall fiskere	1P	H23	2-1
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Kubikktall	S2	V24	2-4
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Halvert fuglebestand	2P-Y, 2P	V25	2-6
Modell for Hannes løping	2P-Y	H24	2-6
Modeller for parkeringsavtaler	2P-Y	H24	2-4
Eksponentiell vekst nettbutikk	2P-Y, 2P	H25	2-1
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Instagram-følgere eksponentiell vekst	2P-Y, 2P	V24	2-4

Oppgave	Fag	År	Oppg
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Modell for antall fiskere	1P	H23	2-1
Avisabonnenter og eksponentialfunksjon	1P	H24	2-1
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Celsius og fahrenheit, lineær sammenheng	1P	H24	1-5
Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon	2P-Y	V24	2-1

Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

a

b

c

d

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Potensfunksjon

Regresjon

Stigningstall