Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

a) \(a \approx 0{,}00966\), \(b \approx 3{,}00\)
b) \(\approx 106 \, \mathrm{cm}\)
c) \(\approx 210 \, \mathrm{g/cm}\)
d) \(\approx 72{,}8 \, \%\)

a

Vi bruker potensregresjon for å finne \(a\) og \(b\) i \(F(x) = a \cdot x^b\).

Regresjon i GeoGebra gir:

Modellen er dermed tilnærmet

b

Vi løser likningen \(F(x) = 11\,500\):

Ifølge modellen er en fisk som veier \(11{,}5 \, \mathrm{kg}\) omtrent \(\underline{\underline{106 \, \mathrm{cm}}}\) lang.

c

Vi beregner \(F(75)\) og \(F(95)\):

Stigningstallet til linjen gjennom \((75,\ F(75))\) og \((95,\ F(95))\):

Stigningstallet er \(\underline{\underline{\approx 210 \, \mathrm{g/cm}}}\).

Dette betyr at for fisk med lengde mellom 75 og 95 cm vil vekten øke med cirka 210 gram for hver ekstra centimeter.

d

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden \(1{,}2 \cdot x\). Da blir den nye vekten:

Prosentvis økning: \((1{,}728 - 1) \cdot 100 \, \% = 72{,}8 \, \%\)

Vekten vil øke med \(\underline{\underline{72{,}8 \, \%}}\) dersom lengden øker med 20 %.

a) (2 poeng) I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig modell og 1 poeng for en grafisk framstilling som kommuniserer godt. Det skal gå tydelig fram at tallene langs \(x\)-aksen er lengde i centimeter og at tallene langs \(y\)-aksen er vekt i gram. En kandidat som lager en grafisk framstilling som oppfyller disse kravene i oppgave b), c) eller d), får også uttelling for dette i oppgave a). En kandidat som ikke bruker en potensfunksjon, kan få uttelling for den grafiske framstillingen.
c) (2 poeng) I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i vekt per centimeter.
d) (2 poeng) En kandidat som bare gjør beregninger for én lengde, får høyst 1 poeng. For å få full uttelling, må kandidaten vise eller argumentere for at sammenhengen gjelder generelt, eller gjøre beregninger for minst to ulike lengder.