Lufttrykk og kokepunkt for vann
- Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa).
- Jo høyere over havet vi befinner oss, jo lavere er lufttrykket.
- Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa.
Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn \(100 \degree\mathrm{C}\). Se tabellen nedenfor.
| Lufttrykk (hPa) | Kokepunkt for vann (\(\degree\mathrm{C}\)) |
|---|---|
| 1000 | 100 |
| 500 | 81,4 |
| 200 | 60,1 |
| 80 | 41,5 |
| 40 | 29 |
- Bestem en modell \(K\) på formen
\[K(x) = a \cdot x^b \]
som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket \(x\) hPa og kokepunktet \(K(x)\) \(\degree\mathrm{C}\).
Betyr dette at det ikke går an å få egg hardkokte oppe på et høyt fjell? Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn \(85 \degree\mathrm{C}\).
Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?
Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er \(x\) kilometer over havets overflate. Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. 12 % per km.
Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.
- Lag modellene for Ari og Lisa.
- Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?
a) \(K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}\)
b) Aris modell: \(L_A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x\). Lisas modell: \(L_L(x) = 1000 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x/5{,}5}\)
c) Med Aris modell: ca. \(\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}\) over havet.
a
Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en modell på formen \(K(x) = a \cdot x^b\).
Fra GeoGebra (potensregresjon):
Modellen passer godt — alle datapunktene ligger nær kurven.
\(\mathbf{K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}}\)
b
Aris modell: Lufttrykket minker med 12 % per km, det vil si lufttrykket blir ganget med \(0{,}88\) for hvert km. Vi starter ved \(1000\) hPa ved havets overflate, slik at
der \(x\) er antall km over havet.
Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver \(5{,}5\) km, det vil si \(k^{5{,}5} = \tfrac{1}{2}\), som gir \(k = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816\). Med samme startverdi:
Modellene er svært like: \(k_A = 0{,}88\) og \(k_L \approx 0{,}882\).
c
Et egg blir hardkokt dersom kokepunktet er minst \(85 \, \degree\mathrm{C}\). Vi må finne høyden \(x\) slik at \(K(L(x)) = 85\).
Vi bruker Aris modell og setter opp likningen
Vi løser likningen i GeoGebra CAS:
CAS gir \(x \approx 3{,}98 \, \mathrm{km}\).
Med Lisas modell får man \(x \approx 4{,}03 \, \mathrm{km}\) — begge modellene gir omtrent det samme svaret.
Det er mulig å få egg hardkokte opp til ca. \(\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}\) over havet.
a) (2 poeng) En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.
En kandidat som ikke kommer fram til en potensfunksjon, får ingen uttelling.
b) (4 poeng) I utgangspunktet gis to poeng for hver riktig modell.
En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer helt i mål med modellen, kan få 1 poeng.
c) (2 poeng) En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.