Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen 1T V25 del 2 oppgave 1.

Kikhoste og eksponentiell modell

Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

Måned	Januar 2023	Mai 2023	Oktober 2023	Februar 2024	August 2024	Oktober 2024
Antall registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

La \(x\) være antall måneder etter desember 2022, det vil si at \(x = 1\) tilsvarer januar 2023, \(x = 3\) tilsvarer mars 2023, og så videre.

Oppgave

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen \(K\) gitt ved
\[K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x \]

er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.
Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((4, K(4))\) og \((21, K(21))\). Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Fasit

a) Modellverdiene ligger nær de observerte verdiene – \(K\) er en god modell.
b) \(\underline{\underline{\text{Stigning} \approx 71{,}84 \text{ tilfeller per måned}}}\)
c) \(\underline{\underline{K(29) \approx 5499 \text{ tilfeller}}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

Vi definerer \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\) i GeoGebra CAS og beregner alle deloppgavene i én sesjon.

CAS-beregninger for alle deloppgaver

a

Vi beregner \(K(x)\) for de seks månedene i tabellen og sammenligner med de observerte verdiene:

Måned	\(x\)	Observert	\(K(x)\)
Januar 2023	1	29	\(\approx 33\)
Mai 2023	5	93	\(\approx 69\)
Oktober 2023	10	164	\(\approx 172\)
Februar 2024	14	284	\(\approx 357\)
August 2024	20	1035	\(\approx 1066\)
Oktober 2024	22	1657	\(\approx 1535\)

Modellverdiene er av samme størrelsesorden som de observerte verdiene i alle månedene. Avvikene er relativt små sammenlignet med de faktiske tallene. \(K\) er derfor en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i perioden.

b

Usikkert løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er skrevet av KI og matematikk.net har en annen løsning. Vi får stigningstall \(\approx 71{,}84\) ved å bruke den oppgitte modellen \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\), mens matematikk.net gjør en lineær regresjon på tabelldataene og får \(70{,}2\). Oppgaven ber eksplisitt om punktene \((4, K(4))\) og \((21, K(21))\), så vi mener vårt svar er det riktige. Se matematikk.net sitt løsningsforslag og vurder selv.

Vi beregner stigningstallet til linjen gjennom \((4, K(4))\) og \((21, K(21))\):

\[\frac{K(21) - K(4)}{21 - 4} = \frac{1278{,}94 - 57{,}65}{17} \approx \underline{\underline{71{,}84}} \]

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antallet registrerte kikhoste-tilfeller med ca. \(\textbf{72}\) tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 (\(x = 4\)) til september 2024 (\(x = 21\)).

c

Usikkert løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er skrevet av KI og matematikk.net har en annen løsning. Vi får \(K(29) \approx 5499\) ved å bruke den oppgitte modellen, mens matematikk.net får \(5336\) basert på sin lineære regresjonsmodell. Vi mener vårt svar er det riktige siden oppgaven ber om å bruke \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\). Se matematikk.net sitt løsningsforslag og vurder selv.

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022, altså \(x = 29\).

\[K(29) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{29} \approx \underline{\underline{5499 \text{ tilfeller}}} \]

Ifølge modellen vil det bli registrert ca. 5499 tilfeller av kikhoste i Norge i mai 2025.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i 1T.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Eksponentiell vekst

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bakterievekst i avfall	S2	H22	2-1
Eksponentiell modell for salg av energidrikker	1P	V23	2-6
Laksefiske og smoltvekst	1P-Y NA	V24	2-1
Lufttrykk og kokepunkt for vann	1T, 1P	V24	2-5
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Isabels Snapchat-følgere	1P	H24	2-5
Lisas salg og to programmer	1P	H24	1-4
Oljefondet og eksponentiell modell	S1	V25	2-6
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Grafer og fire situasjoner	1P	H25	2-2
Eksponentialfunksjon for tomflasker	2P-Y	V23	2-6
Instagram-følgere eksponentiell vekst	2P-Y, 2P	V24	2-4
Utslipp geometrisk rekke og programmering	2P-Y	H23	2-7

Modellering

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Logistisk vekstmodell for gås	S2	H19	1-6
Rottebestand og logistisk modell	S2	V20	2-2
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Logistisk funksjon fra graf	S2	V21	1-4
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Lineær modell for Klaras høyde	1P	V23	1-4
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Sofaproduksjon og overskudd	S1	H23	2-1
Antall fiskere og regresjon	1T	H23	2-4
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Sondres modell for hundeår	1P	H23	1-4
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
Klimagassutslipp eksponentiell vekst	2P	H23	2-8
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Bremselengde og fart	1P	V24	1-4
Lufttrykk og kokepunkt for vann	1T, 1P	V24	2-5
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Momentmagnitudeskala og energi	R1	V24	2-4
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Fotball hjørnespark og vektorer	R2	V24	2-1
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Vannreservoar med eksponentiell funksjon	R1	H24	2-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Fiskebåt og vektorbevegelse	R1	V25	2-4
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Oljefondet og eksponentiell modell	S1	V25	2-6
Kikhoste som eksponentiell vekst	1P	V25	2-1
Sofie lager bagetter hjemme	1P	V25	2-7
Modell for Hannes løping	2P-Y	H24	2-6
Modell for lengde av skjerf	2P-Y	V25	2-5
Modeller for parkeringsavtaler	2P-Y	H24	2-4
Eksponentiell vekst nettbutikk	2P-Y, 2P	H25	2-1
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Luktintensitet og logaritmer	S1	H25	2-5
Luktintensitet og logaritmisk modell	R1	H25	2-3
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Eksponentialfunksjon for tomflasker	2P-Y	V23	2-6
Bremselengde med formel	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	1-3
Isak reiser Oslo til Stockholm	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	2-4
Klimagassutslipp lineær og eksponensiel modell	2P-Y	H23	2-8
Personbiler lineær modell	2P-Y	H23	1-2
Stine hurtiglader elbil	1P-Y EL	V24	2-2
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4

Gjennomsnittlig vekstfart

Oppgave	Fag	År	Oppg
Gjennomsnittstemperatur på Svalbard	1T, 1P	V23	2-1
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter	1T	H23	2-6
Sjøtemperatur på Sørlandet	2P-Y	H23	2-1
Gjennomsnittlig vekstfart med program	1T	V24	1-4
Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	S1, R1	H24	1-6
Vurder påstander om funksjoner	S1	H24	2-2
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Oljefondet og eksponentiell modell	S1	V25	2-6
Kikhoste som eksponentiell vekst	1P	V25	2-1