Konsentrasjon i kjemisk reaksjon
Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen, i millimol per liter (mmol/L), av et stoff, \(t\) sekunder etter at en kjemisk reaksjon startet. Når det har gått lang tid, vil konsentrasjonen av stoffet stabilisere seg på \(2{,}5 \mathrm{~mmol/L}\).
| Tid (s) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Konsentrasjon (mmol/L) | 0 | 0,28 | 0,53 | 0,76 | 0,95 | 1,13 | 1,28 |
| Konsentrasjon \(-\,2{,}5\) (mmol/L) | −2,5 | −2,22 | −1,97 | −1,74 | −1,55 | −1,37 | −1,22 |
- Bruk blant annet regresjon til å vise at funksjonen \(f\) gitt ved
\[f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t \]
er en god modell for konsentrasjonen av stoffet \(t\) sekunder etter at reaksjonen startet.
- Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen er \(2{,}0 \mathrm{~mmol/L}\)?
- Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen øker med mindre enn \(0{,}001 \mathrm{~mmol/L}\) per sekund?
a) Regresjon på de forskjøvede verdiene \((t,\, c(t)-2{,}5)\) gir \(a \approx -2{,}5\) og \(b \approx 0{,}99\), som bekrefter modellen \(f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t\).
b) \(\underline{\underline{t \approx 160 \text{~sekunder}}}\)
c) \(\underline{\underline{t \approx 321 \text{~sekunder}}}\)
a
Tabellen i oppgaven inkluderer en rad med de forskjøvede verdiene \(c(t) - 2{,}5\). Siden \(f(t) \to 2{,}5\) når \(t \to \infty\), forventer vi at \(f(t) - 2{,}5\) følger en eksponentialfunksjon av typen \(g(t) = a \cdot b^t\).
Vi logger de forskjøvede verdiene:
Dette er en lineær funksjon av \(t\). Vi utfører lineær regresjon (eller eksponentialregresjon) på punktene
og får \(a \approx -2{,}5\) og \(b \approx 0{,}99\). Dermed er
Grafen nedenfor viser at modellkurven ligger svært nært datapunktene:
b
Vi løser \(f(t) = 2{,}0\) i GeoGebra CAS (se linje 2 i utklippet nedenfor):
Det tar omtrent 160 sekunder før konsentrasjonen er \(2{,}0 \mathrm{~mmol/L}\).
c
Vi deriverer \(f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t\) og bruker at \(0{,}99^t = e^{t \ln 0{,}99}\):
Siden \(\ln(0{,}99) < 0\) er \(f'(t) > 0\), det vil si konsentrasjonen øker hele tiden (som forventet). Vi ønsker å finne når \(f'(t) < 0{,}001\), det vil si vi løser \(f'(t) = 0{,}001\) (se linje 5 i CAS-utklippet):
Etter omtrent 321 sekunder øker konsentrasjonen med mindre enn \(0{,}001 \mathrm{~mmol/L}\) per sekund.
