Rektangel under graf
Nedenfor ser du grafen til funksjonen \(f\) gitt ved
\[f(x) = \frac{8}{x^2 + 20} \]
Rektangelet under grafen har hjørner i punktene \((0, 0)\), \((5, 0)\), \((5, f(5))\) og \((0, f(5))\).
Oppgave
- Bestem arealet av rektangelet.
- Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene \((0, 0)\), \((n, 0)\), \((n, f(n))\) og \((0, f(n))\) for \(n \in \{1, 2, 3, \ldots, 10\}\)
- Bestem \(k\) slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene \((0, 0)\), \((k, 0)\), \((k, f(k))\) og \((0, f(k))\), blir størst mulig.
Fasit
a) \(\frac{8}{9}\)
b) –
c) \(2\sqrt{ 5 } \approx 4{,}47\)
Løsningsforslag
a
Rektangelet har bredde \(5\) og høyde \(f(5)\).
\[f(5)=\frac{8}{5^{2}+20}=\frac{8}{45} \]
\[\text{Areal}=5 \cdot \frac{8}{45}=\underline{\underline{ \frac{8}{9} }} \]
Arealet er \(\underline{\underline{ \frac{8}{9} }}\).
b
Den enkleste måten å lage en systematisk oversikt er med et regneark.
c
Ut fra oversikten ser det ut til at svaret vil være når bredden er omtrent 4,5. For å bestemme dette eksakt kan vi lage en arealfunksjon:
\[A(x)= \text{Bredde} \cdot \text{Høyde} = x \cdot f(x)=x \cdot \frac{8}{x^{2}+20} \]
For å finne toppunktet til funksjonen deriverer vi den i CAS og setter den deriverte lik 0.
Arealet er størst når \(\underline{\underline{ k=2\sqrt{ 5 } }}\).