Oppgaven er hentet fra eksamen S2 V26 del 2 oppgave 3.

Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26

En nyoppstartet bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den ukentlige etterspørselen \(E\) er gitt ved

\[E(p) = 2700 - p^2, \qquad p \in [10, 45] \]

der \(p\) er prisen i kroner per enhet.

Oppgave

Bestem et uttrykk for inntekten \(I(p)\). Hvilken pris gir høyest inntekt?

Tabellen nedenfor viser noen ukentlige kostnader \(K\) ved å produsere \(x\) enheter.

Antall enheter	50	100	300	600	1000
Kostnader (kroner)	5775	6600	10400	17600	30000

Oppgave

Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å vise at bedriften må produsere og selge \(875\) enheter i uken for at overskuddet skal bli størst mulig.

Bedriften registrerer salget de 8 første ukene.

Uke	1	2	3	4	5	6	7	8
Antall solgte enheter per uke	680	750	790	820	840	855	860	865

Bedriften har som mål å produsere og selge \(45\,000\) enheter totalt det første året. De antar at salget vil fortsette å følge samme trend som de første 8 ukene.

Oppgave

Vil bedriften klare å nå målet sitt?

Fasit

a) \(I(p)=-p^{3}+2700p\). Pris \(p=30\) kr.
b) –
c) Nei. Men en logistisk modell vil gi et samlet salg som er veldig nærme 45 000 enheter.

Løsningsforslag

a

Løsning på a i CAS

Inntekten er \(I(p)=-p^{3}+2700p\) og vi får høyest inntekt ved prisen \(p=30\) kr.

b

Jeg gjør først regresjon på kostnadstallene og finner at en andregradsfunksjon passer fint.

Regresjon på konstandstallene

Siden etterspørselen er \(2700-p^{2}\) må:

\[x = 2700-p^{2} \implies p = \sqrt{ 2700-x } \]

Inntekten for salg av \(x\) enheter blir derfor

\[I(x)=p \cdot x = \sqrt{ 2700-x } \cdot x \]

Jeg finner ut når overskuddet er størst ved å løse \(I'(x)=K'(x)\) i CAS.

Størst overskudd

Bedriften må produsere og selge 875 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig.

c

Jeg gjør først en regresjonsanalyse på salgstallene. Det er vanskelig å vite hva som er riktig modell her. Jeg velger logistisk siden det passer fint med at veksten i salget vil avta.

Regresjon på salgstallene

Jeg bruker følgende modell:

\[f(x)=\frac{872}{1+0{,}464 e ^{-0{,}507x}} \]

Jeg integrerer fra \(x=0{,}5\) til \(x=52{,}5\) for å finne det samlede salget i løpet av de 52 ukene i året.

Samlet salg gjennom året

Hvis utviklingen i salget følger en logistisk modell så vil bedriften ikke klare målet sitt. Samtidig er differansen mellom salget og målet kun 185 enheter eller omtrent 0,4 %.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Inntektsfunksjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26	S2	V26	1-6

Kostnadsfunksjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26	S2	V26	1-6

Regresjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Rottebestand og logistisk modell	S2	V20	2-2
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Eksponentiell modell for salg av energidrikker	1P	V23	2-6
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Timelønn og lønnsvekst	S1, R1	V23	2-1
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Antall fiskere og regresjon	1T	H23	2-4
Modell for antall fiskere	1P	H23	2-1
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Kubikktall	S2	V24	2-4
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Halvert fuglebestand	2P-Y, 2P	V25	2-6
Modell for Hannes løping	2P-Y	H24	2-6
Modeller for parkeringsavtaler	2P-Y	H24	2-4
Eksponentiell vekst nettbutikk	2P-Y, 2P	H25	2-1
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Fiskelengde og potensfunksjonsmodell	1P	H25	2-1
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Instagram-følgere eksponentiell vekst	2P-Y, 2P	V24	2-4
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1

Optimering

Oppgave	Fag	År	Oppg
Inntektsfunksjon med eksponential	S2	H19	2-2
Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	S2	V20	2-3
Enhetskostnad og grensekostnad	S2	H20	1-6
Enhetskostnad og prisreduksjon	S2	V21	2-1
Grensekostnad og grenseinntekt bedrift	S2	H21	1-4
Laveste daglige inntekt	S2	V22	1-6
Bakterievekst i avfall	S2	H22	2-1
Kostnad per enhet og størst overskudd	S2	H22	1-6
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Optimering av rektangelareal og program	R1	V23	1-4
Bredden av teltplassen	1T, 1P	V23	2-2
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Avstand mellom to funksjoner	1T	H23	2-5
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Rektangel under graf	1T	H23	2-7
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Kasser av metallplater	1P	H24	2-8
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Sylinderboks med minst overflate	1T	V25	2-5
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4

Logistisk funksjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Logistisk vekstmodell for gås	S2	H19	1-6
Rottebestand og logistisk modell	S2	V20	2-2
Logistisk funksjon fra graf	S2	V21	1-4
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1