Logistisk funksjon fra graf
På figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen \(f\), der \(f(x)\) er på formen
\[f(x) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{-kx}}, \quad k > 0 \]
I samme figur har vi også tegnet inn tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((0, 2)\). Vi har også tegnet inn linjen \(y = 10\), som er en asymptote til grafen til \(f\).
Oppgave
- Bestem tallene \(A\) og \(B\).
- Gjør nødvendige beregninger og vis at \(k = 0{,}5\).
Fasit
a) \(A = 10\) og \(B = 4\)
b) Se løsningsforslag
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Når \(x \to \infty\), har vi \(e^{-kx} \to 0\), slik at
\[f(x) \to \frac{A}{1 + 0} = A \]
Siden asymptoten er \(y = 10\), er \(\underline{\underline{A = 10}}\).
Grafen går gjennom \((0, 2)\):
\[f(0) = \frac{10}{1 + B \cdot e^0} = \frac{10}{1 + B} = 2 \]
\[1 + B = 5 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{B = 4}} \]
b
Vi har \(f(x) = \dfrac{10}{1 + 4e^{-kx}}\). Vi deriverer:
\[f'(x) = \frac{10 \cdot 4k \cdot e^{-kx}}{(1 + 4e^{-kx})^2} \]
Vi setter inn \(x = 0\):
\[f'(0) = \frac{40k \cdot e^0}{(1 + 4)^2} = \frac{40k}{25} = \frac{8k}{5} \]
Fra figuren leser vi av at tangenten i \((0, 2)\) går gjennom punktet \((10, 10)\). Tangentens stigningstall er
\[a = \frac{10 - 2}{10 - 0} = \frac{8}{10} = 0{,}8 \]
Vi setter \(f'(0) = 0{,}8\):
\[\frac{8k}{5} = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad 8k = 4 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{k = 0{,}5}} \]