Likningssystem med tre ukjente
Løs likningssystemet
\[6x - y + 3z = 12 \]
\[5x + 3y + z = 11 \]
\[3x + 2y + z = 10 \]
Oppgave
Løs likningssystemet.
Fasit
\(x = -1\), \(y = 3\), \(z = 7\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi har likningssystemet
\[\text{I:} \quad 6x - y + 3z = 12 \]
\[\text{II:} \quad 5x + 3y + z = 11 \]
\[\text{III:} \quad 3x + 2y + z = 10 \]
Vi trekker likning III fra likning II for å eliminere \(z\):
\[\text{II} - \text{III:} \quad 2x + y = 1 \quad \text{(IV)} \]
Vi ganger likning III med 3 og trekker fra likning I:
\[3 \cdot \text{III} - \text{I:} \quad 9x + 6y + 3z - 6x + y - 3z = 30 - 12 \]
\[3x + 7y = 18 \quad \text{(V)} \]
Fra (IV) har vi \(y = 1 - 2x\). Vi setter inn i (V):
\[3x + 7(1 - 2x) = 18 \]
\[3x + 7 - 14x = 18 \]
\[-11x = 11 \]
\[\underline{\underline{x = -1}} \]
Vi setter \(x = -1\) inn i (IV):
\[2(-1) + y = 1 \implies \underline{\underline{y = 3}} \]
Vi setter \(x = -1\) og \(y = 3\) inn i likning III:
\[3(-1) + 2 \cdot 3 + z = 10 \implies -3 + 6 + z = 10 \implies \underline{\underline{z = 7}} \]