Bestemme koeffisienter i tredjegradsfunksjon
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \]
Om grafen til \(f\) får du vite at
- den går gjennom punktet \((1, 6)\)
- den går gjennom punktet \((-1, 2)\)
- den har et toppunkt med \(x\)-koordinat lik 3
Oppgave
- Bruk disse opplysningene til å sette opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme \(a\), \(b\) og \(c\).
- Løs likningssystemet.
Fasit
a) Se løsningsforslag
b) \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 3\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi har \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx\) og \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).
Punkt \((1, 6)\):
\[f(1) = a + b + c = 6 \quad \text{(I)} \]
Punkt \((-1, 2)\):
\[f(-1) = -a + b - c = 2 \quad \text{(II)} \]
Toppunkt med \(x = 3\) betyr \(f'(3) = 0\):
\[f'(3) = 27a + 6b + c = 0 \quad \text{(III)} \]
b
Vi legger sammen (I) og (II):
\[(a + b + c) + (-a + b - c) = 6 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2b = 8 \quad \Rightarrow \quad b = 4 \]
Vi setter \(b = 4\) inn i (I): \(a + c = 2\) , altså \(c = 2 - a\) (IV).
Vi setter \(b = 4\) og (IV) inn i (III):
\[27a + 24 + (2 - a) = 0 \quad \Rightarrow \quad 26a + 26 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]
Fra (IV): \(c = 2 - (-1) = 3\).
\[\underline{\underline{a = -1, \quad b = 4, \quad c = 3}} \]
Funksjonen er \(f(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x\).