Funksjonsdrøfting med eksponentialfaktor
Funksjonen \(f\) er gitt ved
- Bestem nullpunktene til \(f\).
- Vis at \(f'(x) = -2(x^2 - 9x + 14) \cdot e^{-\frac{1}{2}x}\).
Nedenfor ser du fire grafer. En av dem er grafen til \(f\).
- Avgjør hvilken av grafene som er grafen til \(f\). Husk å begrunne svaret.
a) \(x = 1\) og \(x = 4\)
b) Vis med produktregelen
c) Graf B (begrunnes med nullpunkter, ekstrempunkter og fortegn)
a
Nullpunktene finner vi ved å løse \(f(x) = 0\):
Siden \(e^{-\frac{1}{2}x} > 0\) for alle \(x\), må
Vi faktoriserer: \((x-1)(x-4) = 0\), som gir nullpunktene \(\underline{\underline{x = 1}}\) og \(\underline{\underline{x = 4}}\).
b
Vi bruker produktregelen med \(u = 4(x^2 - 5x + 4)\) og \(v = e^{-\frac{1}{2}x}\):
c
Vi bruker informasjonen fra a) og b) til å identifisere grafen.
Nullpunkter: \(x = 1\) og \(x = 4\).
Ekstrempunkter: \(f'(x) = 0\) når \(x^2 - 9x + 14 = 0\), altså \((x-2)(x-7) = 0\), som gir \(x = 2\) og \(x = 7\).
Fortegn til \(f\): For \(x < 1\): \(f > 0\) (begge faktorer i \(x^2-5x+4\) negative). For \(1 < x < 4\): \(f < 0\). For \(x > 4\): \(f > 0\).
Fortegn til \(f'\): \(f'(x) = -2(x-2)(x-7) \cdot e^{-\frac{1}{2}x}\), som gir \(f' > 0\) for \(2 < x < 7\) (stigende) og \(f' < 0\) ellers.
Altså har \(f\) et lokalt minimum i \(x = 2\) (i området der \(f < 0\)) og et lokalt maksimum i \(x = 7\) (der \(f > 0\)). Sammen med nullpunktene \(x = 1\) og \(x = 4\) og at \(f(x) \to 0\) for \(x \to \infty\), er dette graf B.