Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = \ln(x^2 - 2x)
\]
Oppgave
- Bestem definisjonsmengden til \(f\).
- Bruk derivasjon til å vise at \(f\) verken har ekstremalpunkter eller vendepunkter.
Fasit
a) \(D_f = \langle \leftarrow, 0 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle\)
b) \(f'(x) = 0\) gir \(x = 1\), som ikke er i definisjonsmengden
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi trenger \(x^2 - 2x > 0\), altså \(x(x - 2) > 0\).
Fortegnslinje for \(x(x-2)\):
| \(x\) | \(\leftarrow 0\) | \(0\) | \(0 \to 2\) | \(2\) | \(2 \to\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x(x-2)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
\[\underline{\underline{D_f = \langle \leftarrow, 0 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle}}
\]
b
Vi deriverer med kjerneregelen:
\[f'(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x} = \frac{2(x-1)}{x(x-2)}
\]
\(f'(x) = 0\) gir \(x = 1\). Men \(x = 1\) ligger ikke i definisjonsmengden (siden \(1 \in \langle 0, 2 \rangle\) der \(f\) ikke er definert). Dermed har \(f\) ingen ekstremalpunkter.
Vi deriverer på nytt:
\[f'(x) = \frac{2(x-1)}{x^2-2x}
\]
Med kvotientregelen:
\[f''(x) = \frac{2(x^2-2x) - 2(x-1)(2x-2)}{(x^2-2x)^2}
\]
\[= \frac{2x^2-4x - 2(x-1) \cdot 2(x-1)}{(x^2-2x)^2} = \frac{2x^2-4x - 4(x-1)^2}{(x^2-2x)^2}
\]
\[= \frac{2x^2-4x-4x^2+8x-4}{(x^2-2x)^2} = \frac{-2x^2+4x-4}{(x^2-2x)^2}
\]
\[= \frac{-2(x^2-2x+2)}{(x^2-2x)^2}
\]
Diskriminanten til \(x^2-2x+2\) er \(4 - 8 = -4 < 0\), så telleren i \(f''(x)\) er alltid \(\neq 0\) for alle reelle \(x\). Dermed har \(f\) heller ingen vendepunkter.