Sorter tallene i riktig rekkefølge
Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.
\[2 \ln e^{3}\quad, \quad 3 \lg 70 \quad,\quad e^{3 \ln 2}
\]
Husk å begrunne svaret.
Fasit
\(3 \lg 70 < 2 \ln e^{3} < e^{3 \ln 2}\), det vil si \(3 \lg 70 < 6 < 8\).
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi forenkler hvert uttrykk algebraisk.
\(2 \ln e^{3}\)
Vi bruker logaritmeregelen \(\ln e^{x} = x\):
\[2 \ln e^{3} = 2 \cdot 3 = \underline{6}
\]
\(e^{3 \ln 2}\)
Vi bruker at \(a \ln b = \ln b^{a}\), og deretter at \(e^{\ln x} = x\):
\[e^{3 \ln 2} = e^{\ln 2^{3}} = 2^{3} = \underline{8}
\]
\(3 \lg 70\)
Vi argumenterer uten kalkulator. Siden \(10 < 70 < 100\), gjelder
\[\lg 10 < \lg 70 < \lg 100 \quad \Longrightarrow \quad 1 < \lg 70 < 2
\]
Derfor er \(3 < 3 \lg 70 < 6\).
Vi vet altså at \(3 \lg 70\) er mellom 3 og 6, og dermed mindre enn 6.
Rekkefølge (stigende):
\[\boxed{3 \lg 70 \;<\; 2 \ln e^{3} = 6 \;<\; e^{3 \ln 2} = 8}
\]