Logaritmer i stigende rekkefølge
Oppgave
Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.
\[2\ln e^3 \qquad 3\lg 70 \qquad e^{3\ln 2}
\]
Husk å begrunne svaret.
Fasit
\[\underline{\underline{3\lg 70 < 2\ln e^3 < e^{3\ln 2}}}
\]
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi beregner verdien av hvert uttrykk uten kalkulator.
\(2\ln e^3\)
Vi bruker at \(\ln(e^a) = a\):
\[2\ln e^3 = 2 \cdot 3 = 6
\]
\(e^{3\ln 2}\)
Vi skriver om eksponenten ved å bruke at \(3\ln 2 = \ln 2^3\), og deretter \(e^{\ln a} = a\):
\[e^{3\ln 2} = e^{\ln 2^3} = 2^3 = 8
\]
\(3\lg 70\)
Vi kan ikke beregne dette eksakt uten kalkulator, men vi kan avgrense verdien:
\[\lg 10 = 1 \implies 3\lg 10 = 3
\]
\[\lg 100 = 2 \implies 3\lg 100 = 6
\]
Siden \(10 < 70 < 100\), er \(1 < \lg 70 < 2\), altså \(3 < 3\lg 70 < 6\).
Dermed er \(3\lg 70\) mellom \(3\) og \(6\), og vi kan konkludere:
\[3\lg 70 < 6 = 2\ln e^3 < 8 = e^{3\ln 2}
\]
Stigende rekkefølge: \(\boldsymbol{3\lg 70 < 2\ln e^3 < e^{3\ln 2}}\)