Logaritmefunksjon med drøfting
Funksjonen \(f\) er gitt ved
- Bestem nullpunktene til \(f\).
- Vis at \(f'(x) = \dfrac{2\ln x - 2}{x}\) og bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til \(f\).
- Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).
- Lag en skisse av grafen til \(f\).
Disse potensene av \(e\) kan komme til nytte når du skal skissere grafen:
\(e^{-1} \approx 0{,}4\), \(e^1 \approx 2{,}7\), \(e^2 \approx 7{,}4\) og \(e^3 \approx 20{,}1\)
a) \(x = e^{-1} \approx 0{,}37\) og \(x = e^3 \approx 20{,}1\)
b) Bunnpunkt \((e, -4)\)
c) Vendepunkt \((e^2, -3)\)
d) Se løsningsforslag
a
Vi setter \(f(x) = 0\):
Vi substituerer \(u = \ln x\):
b
Vi deriverer med kjerneregelen. La \(u = \ln x\), da er \(f = u^2 - 2u - 3\):
Vi setter \(f'(x) = 0\):
Siden \(x > 0\) er nevneren alltid positiv, og fortegnet til \(f'(x)\) bestemmes av telleren \(2\ln x - 2\):
- For \(x < e\): \(\ln x < 1\), så \(f'(x) < 0\)
- For \(x > e\): \(\ln x > 1\), så \(f'(x) > 0\)
Funksjonen skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt.
c
Vi deriverer \(f'(x) = \dfrac{2\ln x - 2}{x}\) med kvotientregelen:
Vi setter \(f''(x) = 0\):
Vi sjekker fortegnsskifte i \(f''\): telleren \(4 - 2\ln x\) skifter fra positiv til negativ i \(x = e^2\), altså har vi et vendepunkt.
d
Viktige punkter i skissen:
| Punkt | \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|
| Nullpunkt | \(e^{-1} \approx 0{,}4\) | \(0\) |
| Bunnpunkt | \(e \approx 2{,}7\) | \(-4\) |
| Vendepunkt | \(e^2 \approx 7{,}4\) | \(-3\) |
| Nullpunkt | \(e^3 \approx 20{,}1\) | \(0\) |
Grafen nærmer seg \(+\infty\) når \(x \to 0^+\) og når \(x \to \infty\).