Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter
En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved
\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 64 \]
- Punktet \((-8, 0)\) er et toppunkt på grafen til \(f\).
- Den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([0, 5]\) er \(\dfrac{64}{5}\).
Oppgave
Bestem \(a\), \(b\) og \(c\).
Fasit
\(a=\frac{1}{5}, b=\frac{11}{5},c=-\frac{16}{5}\)
Løsningsforslag
Vi vet at \(f'(x)=0\) i toppunktet, så jeg begynner med å derivere funksjonen og setter uttrykket lik null
\[\begin{aligned} f'(x)&=3ax^{2}+2bx+c \\ f'(-8)&=3a \cdot (-8)^{2}+2b \cdot (-8)+c\\ 0&= 3a \cdot 64 + (-16b)+c \\ 0&=192a -16b+c \end{aligned} \]
Vi kan også sette opp en likning for funksjonsverdien ved toppunktet.
\[\begin{aligned} f(x)&=ax^3 + bx^2 + cx - 64 \\ f(-8)&=a(-8)^3 + b(-8)^2 + c(-8) - 64 \\ 0&=-512a+64b-8c-64 \end{aligned} \]
Til slutt kan vi sette opp en likning for gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \(x \in \left[ 0,5 \right]\).
\[\begin{aligned} \frac{64}{5}&=\frac{f(5)-f(0)}{5-0}\\ \frac{64}{5}&= \frac{\left( a \cdot 5^{3}+b \cdot 5^{2}+ c \cdot 5 - 64 \right) - \left( 0+0+0-64 \right) }{5}\\ \frac{64}{5}&=\frac{125a+25b+5c}{5} \\ 64&=125a+25b+5c \\ 0&=125a+25b+5c-64 \end{aligned} \]
Det var først nå jeg la merke til at dette var en del 2 oppgave, så jeg løste likningssystemet i GeoGebra 😄. Se utklippet.
\[\underline{\underline{ a=\frac{1}{5}, b=\frac{11}{5},c=-\frac{16}{5} }} \]