Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt
En rasjonal funksjon \(f\) har asymptotene \(x = 2\) og \(y = 4\).
Nullpunktet til funksjonen er \(x = -3\).
Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\).
Gjør rede for hvordan du har tenkt for å komme fram til funksjonsuttrykket.
En rasjonal funksjon kan alltid skrives på formen
der \(x_0\) er nullpunktet, \(x_1\) gir den vertikale asymptoten, og \(a\) bestemmer den horisontale asymptoten.
Vertikal asymptote \(x = 2\): Nevneren er null når \(x = 2\), så nevneren har faktoren \((x - 2)\).
Nullpunkt \(x = -3\): Telleren er null når \(x = -3\), så telleren har faktoren \((x + 3)\).
Funksjonen er dermed
Horisontal asymptote \(y = 4\): Når \(x \to \pm\infty\) dominerer de ledende leddene:
Vi trenger \(a = 4\).
Funksjonsuttrykket blir:
Verifikasjon:
- \(f(-3) = \frac{4 \cdot 0}{-3-2} = 0\) — nullpunkt i \(x = -3\) ✓
- \(f(2)\): nevner \(= 0\) — vertikal asymptote i \(x = 2\) ✓
- \(f(x) \to 4\) når \(x \to \pm\infty\) — horisontal asymptote \(y = 4\) ✓
Grafen nedenfor viser begge grenene av \(f\), de stiplede asymptotene og nullpunktet \((-3, 0)\):
