Fjerdegradspolynom med faktorer
Et polynom \(Q\) er gitt ved
\[Q(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 12 \]
Du får oppgitt at \((x + 1)\), \((x - 1)\) og \((x - 2)\) er faktorer i \(Q(x)\).
Oppgave
- Vis at dette gir likningssystemet
\[a - b + c = -11 \]\[a + b + c = 11 \]\[8a + 4b + 2c = -4 \]
b) Bestem \(a\), \(b\) og \(c\).
Fasit
a) Se løsningsforslag
b) \(a = -8\), \(b = 11\), \(c = 8\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Siden \((x + 1)\), \((x - 1)\) og \((x - 2)\) er faktorer i \(Q(x)\), vet vi at \(Q(-1) = 0\), \(Q(1) = 0\) og \(Q(2) = 0\).
\(Q(-1) = 0\):
\[(-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) - 12 = 0 \]
\[1 - a + b - c - 12 = 0 \]
\[a - b + c = -11 \]
\(Q(1) = 0\):
\[1 + a + b + c - 12 = 0 \]
\[a + b + c = 11 \]
\(Q(2) = 0\):
\[16 + 8a + 4b + 2c - 12 = 0 \]
\[8a + 4b + 2c = -4 \]
b
Fra likning 1 og 2:
\[(a + b + c) - (a - b + c) = 11 - (-11) \]
\[2b = 22 \implies b = 11 \]
Setter \(b = 11\) inn i likning 1: \(a + c = -11 + 11 = 0\), altså \(c = -a\).
Setter \(b = 11\) og \(c = -a\) inn i likning 3:
\[8a + 44 - 2a = -4 \implies 6a = -48 \implies a = -8 \]
Da er \(c = -(-8) = 8\).
\[\underline{\underline{a = -8, \quad b = 11, \quad c = 8}} \]