Skjæringspunkter med x-aksen
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \]
Oppgave
I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \(x\)-aksen?
Fasit
Skjæringspunkter med \(x\)-aksen: \((-3, 0)\), \((-1, 0)\) og \((2, 0)\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Grafen skjærer \(x\)-aksen der \(f(x) = 0\), altså der
\[x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 \]
Vi prøver heltallsrøtter som er delere av konstantleddet \(6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
\[f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \checkmark \]
Siden \(x = -1\) er en rot, er \((x + 1)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:
\[\require{enclose} \begin{array}{r} x^2 + x - 6 \\[-3pt] x+1 \enclose{longdiv}{x^3 + 2x^2 - 5x - 6} \\[-3pt] \underline{-(x^3 + x^2)} \phantom{{}-5x-6} \\[-3pt] x^2 - 5x \phantom{{}-6} \\[-3pt] \underline{-(x^2 + x)} \phantom{{}-6} \\[-3pt] -6x - 6 \\[-3pt] \underline{-(-6x - 6)} \\[-3pt] 0 \end{array}\]
Vi kan altså skrive
\[x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x^2 + x - 6) \]
Andregradsuttrykket \(x^2 + x - 6\) faktoriserer vi:
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
\[x = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \]
Dermed er
\[x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x - 2)(x + 3) \]
og likningen \(f(x) = 0\) har løsningene \(x = -1\), \(x = 2\) og \(x = -3\).
Grafen skjærer \(x\)-aksen i punktene \(\underline{\underline{(-3, 0)}}\), \(\underline{\underline{(-1, 0)}}\) og \(\underline{\underline{(2, 0)}}\).