Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning
Polynomet \(P\) er gitt ved
- Vis, uten å utføre polynomdivisjon, at \(P(x)\) ikke er delelig med \((x - 1)\).
- Utfør polynomdivisjonen \(P(x) : (x + 1)\).
- Løs ulikheten \(P(x) \geq 0\).
- Løs likningen \(e^{3x} - 2e^{2x} - 31e^x - 28 = 0\).
a) \(P(1) = -60 \neq 0\)
b) \(P(x) : (x+1) = x^2 - 3x - 28\)
c) \(x \in \{-4\} \cup [7, \to\rangle\)
d) \(x = \ln 7\)
a
Dersom \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\), må \(P(1) = 0\) (faktorteoremet).
Altså er \(P(x)\) ikke delelig med \((x - 1)\).
b
Vi utfører polynomdivisjonen:
Altså \(P(x) = (x+1)(x^2 - 3x - 28)\).
c
Vi faktoriserer \(x^2 - 3x - 28\):
Dermed er \(P(x) = (x+1)(x+4)(x-7)\) med nullpunkter \(x = -4\), \(x = -1\) og \(x = 7\).
Fortegnslinje:
| \(x < -4\) | \(-4 < x < -1\) | \(-1 < x < 7\) | \(x > 7\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
\(P(x) \geq 0\) for \(x = -4\), \(x \in [-4, -1]\)... nei, la oss sjekke:
For \(x = -3\): \(P(-3) = (-3+1)(-3+4)(-3-7) = (-2)(1)(-10) = 20 > 0\) ✓
d
Vi setter \(u = e^x\) i likningen \(e^{3x} - 2e^{2x} - 31e^x - 28 = 0\):
Dette er \(P(u) = 0\), som fra oppgave b) og c) har løsningene \(u = -4\), \(u = -1\) og \(u = 7\).
Siden \(u = e^x > 0\), er den eneste gyldige løsningen \(u = 7\):