Nullpunkter og andregradslikninger
Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor.
Høyresiden i den første likningen er lik null. Jeg er usikker, men kan vi da bare finne ut hva \(x\) må være for at det som står inne i en av parentesene skal bli lik null?
Setter vi \(x = -4\), får vi \((-4+4) \cdot (-4-1) = 0 \cdot (-5) = 0\)
Setter vi \(x = 1\), blir \((x+4)(x-1)\) også lik null.
Løsningene er derfor \(x_1 = -4\) og \(x_2 = 1\)
Dette stemmer, men jeg vet ikke hvorfor.
Vil det alltid være slik?
I den andre likningen er høyresiden lik minus seks. Da må det som står inne i en av parentesene, bli minus seks?
Er da løsningene \(x_1 = -8\) og \(x_2 = -3\)?
Kommenter det Selma og Tobine sier, og løs likningen \((x+2)(x-3) = -6\)
\(\underline{\underline{x_1 = 0}}\) og \(\underline{\underline{x_2 = 1}}\)
Kommentar til Selma
Selma har rett! Grunnen til at metoden virker, er nullproduktsregelen: hvis et produkt av to faktorer er lik null, må minst én av faktorene være lik null. Det betyr at
Fra \(x + 4 = 0\) får vi \(x_1 = -4\), og fra \(x - 1 = 0\) får vi \(x_2 = 1\). Selma regner riktig.
Kommentar til Tobine
Tobine misforstår. Nullproduktsregelen gjelder kun når høyresiden er lik null. Når høyresiden er \(-6\), kan vi ikke si at én av parentesene må være \(-6\). Det er mulig å sette opp utallige kombinasjoner av to tall som gir produktet \(-6\) (f.eks. \(2 \cdot (-3)\), \((-1) \cdot 6\), osv.), og det gir ikke en enkel metode.
Vi kan sjekke at Tobines svar er feil: setter vi inn \(x = -8\):
Løsning av \((x+2)(x-3) = -6\)
Vi må flytte \(-6\) over til venstre side slik at høyresiden blir null, og deretter multiplisere ut:
Vi multipliserer ut venstre side:
Vi setter \(x\) utenfor parentes (faktoriserer):
Nå kan vi bruke nullproduktsregelen:
\(\underline{\underline{x_1 = 0}}\) og \(\underline{\underline{x_2 = 1}}\)