Andregradsulikhet
Oppgave
Løs ulikheten
\[x^2 - 4x - 12 < 0
\]
Fasit
\(\underline{\underline{x \in \langle -2,\ 6 \rangle}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi løser først den tilhørende andregradslikningen ved å faktorisere:
\[x^2 - 4x - 12 = 0
\]
Vi søker to tall som multipliserer til \(-12\) og adderer til \(-4\). Tallene \(-6\) og \(2\) passer:
\[x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) = 0
\]
Dette gir nullpunktene \(x = 6\) og \(x = -2\).
Siden ledende koeffisient er positiv (\(a = 1 > 0\)), åpner parabelen oppover. Det betyr at parabelen er under \(x\)-aksen mellom nullpunktene.
Vi setter opp et fortegnsskjema:
| \(x < -2\) | \(x = -2\) | \(-2 < x < 6\) | \(x = 6\) | \(x > 6\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \((x+2)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((x-6)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \((x+2)(x-6)\) | \(+\) | \(0\) | \(\mathbf{-}\) | \(0\) | \(+\) |
Ulikheten \(x^2 - 4x - 12 < 0\) er oppfylt der produktet er negativt, altså mellom nullpunktene.
Løsningen er \(\underline{\underline{x \in \langle -2,\ 6 \rangle}}\).