Identitet i CAS-verktøy
Kari arbeider med algebraiske uttrykk, likninger og identiteter. Hun prøver å løse likningen
i et CAS-verktøy og får resultatet \(x = x\). Se nedenfor.
\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)
Løs: \(\{x = x\}\)
Ta utgangspunkt i dette resultatet og forklar Kari hva en identitet er.
\(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) er en identitet — den er sann for alle reelle tall \(x\).
CAS prøver å finne hvilke \(x\)-verdier som gjør likningen sann. For å forstå hvorfor den svarer \(x = x\), kan vi se hva som skjer når vi forenkler høyre side:
De to sidene er altså nøyaktig det samme algebraiske uttrykket. Det betyr at likningen
er sann uansett hvilken verdi \(x\) har. Velger vi for eksempel \(x = 3\):
eller \(x = 0\):
Begge sider gir alltid samme svar.
En slik likhet kalles en identitet — en likhet mellom to uttrykk som er sann for alle verdier av variabelen. CAS uttrykker dette med \(x = x\): det er CAS sin måte å si «alle reelle tall er løsninger».
Dette er annerledes enn en vanlig likning, for eksempel \(x^2 - 4 = 0\), der bare de spesielle verdiene \(x = 2\) og \(x = -2\) er løsninger.
Kari kan altså forklare at \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) er en identitet fordi de to sidene er ekvivalente uttrykk, og at CAS bekrefter dette ved å returnere \(x = x\).