Andregradsfunksjon med ett nullpunkt
En andregradsfunksjon \(f\) har ett nullpunkt. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 9)\).
Oppgave
Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\) for andregradsfunksjonen.
Fasit
For eksempel \(f(x)=x^{2}+6x+9\) eller \(f(x)=x^{2}-6x+9\).
Løsningsforslag
- Ett nullpunkt → grafen «toucher» akkurat \(x\)-aksen og diskriminanten \(b^{2}-4ac\) må være 0.
- Grafen skal skjære i \((0,9)\) → \(a\) må være positiv og \(f(0)=9\)
Vi setter opp det generelle uttrykket.
\[f(x)=ax^{2}+bx+c \]
Siden diskriminanten må være null kan vi utnytte at \(b^{2}=4ac\) og forenkle. Vi er kun ute etter en mulig løsning her, så jeg bruker kvadratroten slik at \(b=\sqrt{ 4ac }\)
\[f(x)=ax^{2}+\sqrt{ 4ac }x+c \]
Vi utnytter at \(f(0)=9\) som gir oss
\[a \cdot 0^{2}+ \sqrt{ 4ac } \cdot 0+c=9 \implies \underline{c=9} \]
Vi har altså
\[f(x)=ax^{2}+\sqrt{ 4a \cdot9 }x +9=ax^{2}+\sqrt{ 36a }x+9=ax^{2}+6\sqrt{ a }x+9 \]
Den enkleste løsningen her vil være \(a=1\) slik at funksjonen vår blir:
\[\underline{\underline{ f(x)=x^{2}+6x+9 }} \]