Omvendt funksjon fra grafer

a) \(f\): ingen omvendt funksjon. \(g\): har omvendt funksjon. \(h\): ingen omvendt funksjon. \(k\): har omvendt funksjon.
b) \(D(g^{-1}) = [1, 6]\), \(\quad D(k^{-1}) = [-1, 3]\)

En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ulike \(x\)-verdier alltid gir ulike funksjonsverdier. Grafisk testes dette med den vannrette linjetesten: en funksjon er injektiv hvis og bare hvis ingen vannrett linje skjærer grafen i mer enn ett punkt.

a

Funksjonen \(f\):

Grafen til \(f\) er symmetrisk om \(y\)-aksen. En vannrett linje \(y = c\) (for eksempel \(y = 1\)) skjærer grafen i to punkter, ett på hver side av \(y\)-aksen. Dermed er \(f\) ikke injektiv, og \(f\) har ingen omvendt funksjon.

Funksjonen \(g\):

Grafen til \(g\) er strengt voksende over hele definisjonsmengden \([-4, 4]\). Enhver vannrett linje kan derfor skjære grafen i høyst ett punkt. Dermed er \(g\) injektiv, og \(g\) har en omvendt funksjon.

Funksjonen \(h\):

Grafen til \(h\) består av to greiner. Verdien \(y = 2\) oppnås både på den første grenen (ved \(x \approx -2\)) og på den andre grenen (ved \(x = 4\)). En vannrett linje \(y = 2\) skjærer altså grafen i to punkter. Dermed er \(h\) ikke injektiv, og \(h\) har ingen omvendt funksjon.

Funksjonen \(k\):

Grafen til \(k\) er strengt avtagende over hele definisjonsmengden \([-4, 4]\). Enhver vannrett linje kan derfor skjære grafen i høyst ett punkt. Dermed er \(k\) injektiv, og \(k\) har en omvendt funksjon.

b

Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er lik verdimengden til den opprinnelige funksjonen.

Definisjonsmengden til \(g^{-1}\):

Fra grafen leser vi av at \(g(-4) \approx 1\) og \(g(4) \approx 6\). Siden \(g\) er kontinuerlig og strengt voksende, er verdimengden til \(g\) intervallet \([1, 6]\).

Definisjonsmengden til \(k^{-1}\):

Fra grafen leser vi av at \(k(-4) \approx 3\) og \(k(4) \approx -1\). Siden \(k\) er kontinuerlig og strengt avtagende, er verdimengden til \(k\) intervallet \([-1, 3]\).