Sinusfunksjon og cosinusfunksjon
Figuren viser grafen til funksjonen
- Bestem en funksjon på formen \(g(x) = A \cdot \cos(cx + \varphi) + d\), som passer til grafen.
- Løs likningen \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}\), der \(x \in [0, 3\pi]\). Forklar hvor på figuren løsningene ligger.
a) \(g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x + \pi\right) - 1\)
b) \(x = \dfrac{8}{3}\) og \(x = \dfrac{16}{3}\)
a
Vi kan omskrive en sinusfunksjon til en cosinusfunksjon ved å endre på faseforksyvningen. Likevektslinje, periode og amplitude vil være lik som for sinusfunksjonen.
Vi ser at \(f\) har et bunnpunkt i \((0,-3)\). Vi vet at \(\cos u\) har bunnpunkt når \(u=\pi\), så vi kan faseforskyve med \(\pi\)
b
Vi vet at \(\cos 60\degree=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), derfor må \(\cos \left( \frac{\pi}{3}+2k\pi \right)=\frac{1}{2}=\cos \left( \frac{5\pi}{3}+2k\pi \right)\) der \(k \in \mathbb{Z}\). Vi kan løse for \(x\) i to steg. Først setter vi opp likningen
Siden \(x\) er begrenset til \(\left[ 0,3\pi \right]\), så er det kun løsningen \(x=\frac{16}{3}\) som er gyldig fra denne likningen.
Deretter kan vi sette opp
På grunn av avgresningen av \(x\), så får vi kun en gyldig løsning hvis vi velger \(k=-1\).
Likningen har løsningene \(x=\frac{8}{3}\) og \(x=\frac{16}{3}\).