Stykkevis funksjon og kontinuitet
En funksjon \(f\) er gitt ved
\[f(x) = \begin{cases} 2x - 2 & x \le -2 \\ 2x^3 + 2x^2 - 4x \quad & -2 < x < k \\ 4 & x \ge k \end{cases} \quad \text{der } k \in \langle -2, \rightarrow \rangle
\]
Oppgave
- Avgjør om \(f\) er kontinuerlig når \(x=-2\).
- Bestem \(k\) slik at \(f\) er kontinuerlig når \(x=k\).
Fasit
a) Ikke kontinuerlig (venstregrense \(= -6\), høyregrense \(= 0\))
b) \(k = -1\), \(k = -\sqrt{2}\) eller \(k = \sqrt{2}\)
Løsningsforslag
a
Vi sjekker grenser fra venstre og høyre i \(x = -2\):
\[\lim_{x \to -2^-} (2x - 2) = 2(-2) - 2 = -6
\]
\[\lim_{x \to -2^+} (2x^3 + 2x^2 - 4x) = 2(-8) + 2(4) - 4(-2) = -16 + 8 + 8 = 0
\]
Siden \(\lim_{x \to -2^-} f(x) = -6 \neq 0 = \lim_{x \to -2^+} f(x)\) eksisterer ikke grenseverdien i \(x = -2\).
\(f\) er ikke kontinuerlig i \(x = -2\).
b
For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = k\) må:
\[\lim_{x \to k^-} (2x^3 + 2x^2 - 4x) = 4
\]
\[2k^3 + 2k^2 - 4k = 4
\]
\[k^3 + k^2 - 2k - 2 = 0
\]
Vi faktoriserer:
\[k^2(k+1) - 2(k+1) = (k^2-2)(k+1) = 0
\]
\[k = \sqrt{2}, \quad k = -\sqrt{2}, \quad k = -1
\]
Alle tre verdiene er større enn \(-2\) og dermed i gyldighetsområdet \(k \in \langle -2, \rightarrow \rangle\).
\(\underline{\underline{k = \sqrt{2}}}\), \(\underline{\underline{k = -\sqrt{2}}}\) eller \(\underline{\underline{k = -1}}\)