Grenseverdier og eksistens
Oppgave
- Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
\[\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \]
b)
- Bestem \(a\) slik at grenseverdien eksisterer:
\[\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8} \]- Bestem grenseverdien for denne verdien av \(a\).
Fasit
a) Grenseverdien eksisterer ikke
b) \(a = 3\), grenseverdi \(= \dfrac{1}{6}\)
Løsningsforslag
a
Vi sjekker nevneren i \(x = -2\):
\[x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2) \implies \text{nevner} = 0 \text{ når } x = -2 \]
Telleren i \(x = -2\):
\[(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0 \]
Siden nevneren er \(0\) og telleren er \(\neq 0\) i \(x = -2\), eksisterer ikke grenseverdien.
b
Del 1 – bestem \(a\):
For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også være \(0\) i \(x = -2\):
\[(-2)^2 + a \cdot (-2) + 2 = 0 \implies 6 - 2a = 0 \implies \underline{\underline{a = 3}} \]
Del 2 – bestem grenseverdien:
Med \(a = 3\) faktoriserer vi teller og nevner:
\[\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} \]
Kansellerer \((x+2)\) (vi ser bort fra \(x = -2\) siden vi tar grenseverdi):
\[\lim_{x \to -2} \frac{(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x-4)\cancel{(x+2)}} = \frac{-2+1}{-2-4} = \frac{-1}{-6} \]
Grenseverdien er \(\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}\).