Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet
I en boks ligger det et ukjent antall røde og hvite kuler. Du trekker tre kuler uten tilbakelegging.
Hva er det minste antallet røde kuler og hvite kuler det kan være i boksen for at sannsynligheten skal være mellom 17 % og 18 % for at alle kulene du trekker, er hvite?
5 hvite og 3 røde kuler (totalt 8 kuler). \(P = \dfrac{5}{28} \approx 17{,}9 \,\%\)
Siden kulene trekkes uten tilbakelegging, er dette en hypergeometrisk situasjon. La
- \(m\) = antall hvite kuler
- \(n\) = antall røde kuler
- \(T = m + n\) = totalt antall kuler
Antall måter å trekke 3 hvite av \(m\) hvite er \(\binom{m}{3}\), og antall måter å trekke 3 kuler av \(T\) totalt er \(\binom{T}{3}\). Sannsynligheten for at alle tre er hvite blir
Vi trenger \(0{,}17 < P < 0{,}18\), og vi vil finne minste \(T\) (færrest mulig kuler totalt).
Vi må ha \(m \geq 3\) (ellers kan vi ikke trekke tre hvite). Vi prøver systematisk fra \(T = 4\):
| \(m\) (hvite) | \(n\) (røde) | \(T\) (totalt) | \(P = \dfrac{\binom{m}{3}}{\binom{T}{3}}\) | Innenfor? |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 4 | \(\tfrac{1}{4} = 0{,}250\) | Nei |
| 3 | 2 | 5 | \(\tfrac{1}{10} = 0{,}100\) | Nei |
| 4 | 1 | 5 | \(\tfrac{4}{10} = 0{,}400\) | Nei |
| 3 | 3 | 6 | \(\tfrac{1}{20} = 0{,}050\) | Nei |
| 4 | 2 | 6 | \(\tfrac{4}{20} = 0{,}200\) | Nei |
| 5 | 1 | 6 | \(\tfrac{10}{20} = 0{,}500\) | Nei |
| 3 | 4 | 7 | \(\tfrac{1}{35} \approx 0{,}029\) | Nei |
| 4 | 3 | 7 | \(\tfrac{4}{35} \approx 0{,}114\) | Nei |
| 5 | 2 | 7 | \(\tfrac{10}{35} \approx 0{,}286\) | Nei |
| 5 | 3 | 8 | \(\boldsymbol{\tfrac{10}{56} = \tfrac{5}{28} \approx 0{,}179}\) | Ja ✓ |
For \(T = 8\), \(m = 5\), \(n = 3\):
Alle kombinasjoner med \(T \leq 7\) gir \(P\) utenfor intervallet \([17\,\%, 18\,\%]\), og \(m=5\), \(n=3\) er den første løsningen vi finner.
Det minste antallet er \(\underline{\underline{5 \text{ hvite og } 3 \text{ røde kuler}}}\), altså 8 kuler totalt, og sannsynligheten er \(\dfrac{5}{28} \approx 17{,}9 \,\%\).