Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad
Ane har en vanlig sekssidet terning. Hun ønsker å finne ut hvor mange ganger hun i gjennomsnitt må kaste terningen for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
Hun har laget tabellen nedenfor.
| Kast nummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sannsynlighet for at kastet er nødvendig | 1 | 1 | \(\frac{5}{6}\) | \(\left(\frac{5}{6}\right)^2\) | \(\left(\frac{5}{6}\right)^3\) | \(\left(\frac{5}{6}\right)^4\) | ⋯ |
- Forklar at
\[1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots \]
vil gi det forventede antallet kast Ane må gjøre for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
Bestem denne verdien.
- Bruk simulering til å bestemme forventningsverdien til summen av antall øyne Ane vil få på terningen i kastene hun bruker for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
a) –
b) 24,5
a
I denne oppgaven er jeg veldig usikker på hva som kreves for å forklare at uttrykket i oppgaveteksten er det samme som forventningsverdien. Jeg tror ikke det er meningen at elever skal gjøre det samme som jeg har gjort her – men jeg klarer ikke helt å se en enklere måte å argumentere for at forventningsverdien er eksakt lik summen av «antall kast nødvendig».
Vi lar \(X\) være antall kast som trengs før vi har fått 2 like terningkast på rad. Sannsynligheten for å at et terningkast har samme antall øyne som det forrige er \(1/6\), og sannsynligheten for at antall øyne er ulikt er \(5/6\). Vi kan bruke multiplikasjonsprinsippet og sette opp følgende sannsynlighetsfordeling for \(X\):
| \(x_{i}\) | \(P(x_{i})\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(3\) | \(\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}\) |
| \(4\) | \(\left( \frac{5}{6} \right)^{2} \cdot \frac{1}{6}\) |
| \(5\) | \(\left( \frac{5}{6} \right)^{3} \cdot \frac{1}{6}\) |
Forventningsverdien til \(X\) vil da være
Vi kaller alt inni parentesen for \(S\), og omskriver heltallene som står foran \(\frac{5}{6}\) som en sum av enere:
Vi deler nå opp denne summen i en rekke delsummer slik at \(S = \lim_{ n \to \infty } S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}\) hvor
Forventningsverdien er altså
Hvis vi ser bort fra det aller første leddet (\(\textcolor{seagreen}{1}\)), så er dette en uendelig geometrisk rekke med \(a_{1}=1\) og \(k=\frac{5}{6}\)
Vi kan finne summen av rekka \(s\) med GeoGebra, eller med formelen for sum av uendelig geometrisk rekke:
Til sammen blir altså \(\text{E}(X)=\textcolor{seagreen}{1}+s=\textcolor{seagreen}{1}+6=7\).
Verdien av rekka er 7.
b
Vi skal simulere forventningsverdien til summen av antall øyne på alle terningene som kastes i jakten på å få to like kast på rad.
from random import randint
N = 100_000
sum_øyne = 0 # totalt antall øyne på terningene
for i in range(N):
t1 = randint(1,6) # terningkast 1
t2 = randint(1,6) # terningkast 2
sum_øyne = sum_øyne + t1 + t2 # legger til resultatene til summen
while t1 != t2:
t1 = t2 # flytter t2's verdi til t1
t2 = randint(1,6) # ruller t2 på nytt
sum_øyne = sum_øyne + t2 # legger til nytt resultat til summen
EX = sum_øyne/N # forventningsverdi = snitt i det lange løp
print(f"Jeg estimerer forventningsverdien til å være {EX:.3f} etter {N} simuleringer.")
Output: Jeg estimerer forventningsverdien til å være 24.502 etter 100000 simuleringer.
Etter å ha kjørt programmet flere ganger ser det ut til estimatet mitt er stabilt på rundt \(24{,}5\). Det stemmer også godt med at forventningsverdien for en terning er \(3{,}5\) og vi trenger i snitt \(7\) kast før vi har fått to like på rad.
Jeg estimerer forventningsverdien til summen av antall øyne før Ane får to like terninger på rad til å være 24,5.