Hildes terningkast
Hilde kaster en terning med seks sider. La \(X\) være antall øyne hun får på terningen.
- Bestem forventningsverdien \(E(X)\)
Hilde regner ut at standardavviket \(SD(X)=1{,}7\). Hun vil kaste terningen flere ganger og summere antall øyne fra hvert kast.
- Hvor mange ganger må Hilde kaste terningen før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen?
a) 3,5
b) 100
a
For å finne forventningsverdien lager jeg en tabell og regner ut \(\sum_{i=1}^6 x \cdot P(X=x)\)
| \(x\) | \(P(X=x)\) | \(x \cdot P(X=x)\) |
|---|---|---|
| 1 | \(\frac{1}{6}\) | \(1 \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}\) |
| 2 | \(\frac{1}{6}\) | \(2\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{6}\) |
| 3 | \(\frac{1}{6}\) | \(3\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{6}\) |
| 4 | \(\frac{1}{6}\) | \(4\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{6}\) |
| 5 | \(\frac{1}{6}\) | \(5\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) |
| 6 | \(\frac{1}{6}\) | \(6\cdot \frac{1}{6}=\frac{6}{6}\) |
| Sum | 1 | \(\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3{,}5\) |
Forventningsverdien er 3,5.
b
Standardavviket til ett kast er \(SD(X)=1{,}7\).
Vi lar \(S\) være summen av \(n\) forsøk med \(X\) slik at
Sentralgrensesetningen sier at \(S\) vil være tilnærmet normalfordelt med variansen og standardavviket:
Fra normalfordelingstabellen så kan jeg finne ut at 68 % av arealet under normalfordelingskurven ligger innenfor pluss/minus ett standardavvik fra forventningsverdien. Altså må det være 32 % sannsynlighet for å få observasjon mer enn ett standardavvik fra forventningsverdien.
Siden vi vet at 32 % tilsvarer mer enn ett standardavvik fra forventningsverdien, må 17 øyne være ett standardavvik.
Hilde må kaste terningen 100 ganger før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen.