Normalfordeling med ukjente parametere
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.
La \(X\) være normalfordelt med forventningsverdi \(\mu = 1\) og varians \(\sigma^2 = 4\).
Oppgave
- Bestem \(P(2 < X < 3)\).
Om en annen normalfordelt stokastisk variabel \(Y\) får du vite at \(P(Y \leq 0{,}92) = 0{,}0228\) og \(P(Y \geq 1{,}41) = 0{,}0668\).
Oppgave
- Bestem \(\mu\) og \(\sigma\).
Fasit
a) \(P(2 < X < 3) \approx 0{,}15\)
b) \(\mu = 1{,}20\) og \(\sigma = 0{,}14\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
\(X\) er normalfordelt med \(\mu = 1\) og \(\sigma^2 = 4\), altså \(\sigma = 2\).
Vi standardiserer:
\[z_1 = \frac{2 - 1}{2} = 0{,}5 \qquad z_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1{,}0
\]
\[P(2 < X < 3) = \Phi(1{,}0) - \Phi(0{,}5) = 0{,}8413 - 0{,}6915 = \underline{\underline{0{,}1498 \approx 0{,}15}}
\]
b
Vi slår opp i tabellen og finner \(z\)-verdiene:
\[P(Y \leq 0{,}92) = 0{,}0228 \implies \frac{0{,}92 - \mu}{\sigma} = -2{,}00
\]
\[P(Y \geq 1{,}41) = 0{,}0668 \implies P(Y \leq 1{,}41) = 0{,}9332 \implies \frac{1{,}41 - \mu}{\sigma} = 1{,}50
\]
Vi har likningssystemet:
\[0{,}92 - \mu = -2\sigma \quad \text{(I)}
\]
\[1{,}41 - \mu = 1{,}5\sigma \quad \text{(II)}
\]
Trekker (I) fra (II):
\[1{,}41 - 0{,}92 = 1{,}5\sigma + 2\sigma \implies 0{,}49 = 3{,}5\sigma \implies \sigma = 0{,}14
\]
Setter inn i (I):
\[\mu = 0{,}92 + 2 \cdot 0{,}14 = 1{,}20
\]
\[\underline{\underline{\mu = 1{,}20 \quad \text{og} \quad \sigma = 0{,}14}}
\]