Selvbetjeningskasse og hypotesetest

I en selvbetjeningskasse i en matbutikk blir i gjennomsnitt hver tiende kunde trukket tilfeldig ut til kontroll. Dette kan vi betrakte som et binomisk forsøk med \(p = 0{,}1\).

Oppgave

Bestem sannsynligheten for at fem kunder etter hverandre ikke blir trukket ut til kontroll.

La \(X\) være antall kunder som blir trukket ut til kontroll av de 200 første kundene som bruker selvbetjeningskassen en tilfeldig dag.

Oppgave

Bestem forventningsverdien \(\text{E}(X)\) og variansen \(\text{Var}(X)\).
Bestem \(P(X \geq 25)\).

Ledelsen i butikkjeden har mistanke om at færre enn 10 prosent av kundene blir kontrollert.

Oppgave

Sett opp hypoteser som de kan bruke til å avgjøre om mistanken er berettiget.

Ledelsen bestemmer seg for å undersøke hvor mange kunder som ble kontrollert en tilfeldig valgt dag. Det viser seg at 579 kunder brukte selvbetjeningskassen den dagen. Av disse ble 47 trukket ut til kontroll.

Oppgave

Utfør hypotesetesten og avgjør om mistanken er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.

Fasit

a) \(0{,}9^5 \approx 0{,}590\)
b) \(\text{E}(X) = 20\), \(\text{Var}(X) = 18\)
c) \(P(X \geq 25) \approx 0{,}145\)
d) Se løsningsforslag
e) Mistanken er ikke berettiget (\(p\)-verdi \(\approx 0{,}066 > 0{,}05\))

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Sannsynligheten for at én kunde ikke blir kontrollert er \(1 - 0{,}1 = 0{,}9\).

For fem kunder etter hverandre:

\[P = 0{,}9^5 \approx \underline{\underline{0{,}590}} \]

b

\(X\) er binomisk fordelt med \(n = 200\) og \(p = 0{,}1\).

\[\text{E}(X) = np = 200 \cdot 0{,}1 = \underline{\underline{20}} \]

\[\text{Var}(X) = np(1-p) = 200 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = \underline{\underline{18}} \]

c

Siden \(n\) er stor, kan vi tilnærme \(X\) med normalfordeling:

\[X \approx N(\mu = 20{,}\ \sigma = \sqrt{18} \approx 4{,}24) \]

\[P(X \geq 25) \approx P\!\left(Z \geq \frac{24{,}5 - 20}{4{,}24}\right) = P(Z \geq 1{,}06) = 1 - \Phi(1{,}06) \approx \underline{\underline{0{,}145}} \]

(Vi bruker kontinuitetskorreksjon: \(P(X \geq 25) = P(X > 24{,}5)\).)

d

Ledelsen mistenker at andelen kontrollerte er lavere enn 10 %. Vi setter opp:

\[H_0\colon p = 0{,}1 \quad \text{(andelen er 10 \%)} \]

\[H_1\colon p < 0{,}1 \quad \text{(andelen er lavere enn 10 \%)} \]

Vi gjennomfører en venstresidig test med signifikansnivå \(\alpha = 0{,}05\).

e

Vi har \(n = 579\) og \(\hat{p} = \dfrac{47}{579} \approx 0{,}0812\).

Under \(H_0\) er \(X\) binomisk fordelt med \(n = 579\) og \(p = 0{,}1\). Vi tilnærmer med normalfordeling:

\[\text{E}(X) = 57{,}9 \quad \text{og} \quad \text{SD}(X) = \sqrt{579 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} \approx 7{,}22 \]

Testobservator:

\[z = \frac{47 - 57{,}9}{7{,}22} \approx -1{,}51 \]

\(p\)-verdi: \(P(Z \leq -1{,}51) = \Phi(-1{,}51) \approx 0{,}066\)

Siden \(p\)-verdien \(0{,}066 > 0{,}05 = \alpha\), forkaster vi ikke \(H_0\).

\(\underline{\underline{\text{Konklusjon: Det er ikke grunnlag for å si at mistanken er berettiget.}}}\)

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Fremskrittspartiet og hypotesetest	S2	V20	2-1
Gule drops i poser	S2	V20	1-7
Levetid til temperaturfølere	S2	H20	2-3
Hypotesetest med smak av cola	S2	V23	2-3
Billetter til fotballkamp	S1	V23	2-5
Hypotesetest om russetid	S2	V19	2-5
Lykkehjulet	S2	H22	1-8
Hypotesetest om legemiddel	S2	V24	2-2
Figurer som viser normalfordeling	S2	H24	1-4

Oppgave	Fag	År	Oppg
Normalfordeling med ukjente parametere	S2	V19	1-8
Insektskader på epletrær	S2	H19	1-7
Løpstid til Krigsskolen	S2	H19	2-3
Gule drops i poser	S2	V20	1-7
Levetid til temperaturfølere	S2	H20	2-3
Tomatfrø og normalfordeling	S2	H20	1-7
Bruddstyrke fiskesene	S2	V21	2-3
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Kaffefabrikken og hypotesetest	S2	V22	2-2
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Sjokoladeplater og hypotesetest	S2	H22	2-3
Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter	S2	E22	1-5
Levetiden til normalfordelte batterier	S2	V23	1-6
Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole	S2	V23	2-5
Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling	S2	H13	1-2
Hypotesetest om russetid	S2	V19	2-5
Lykkehjulet	S2	H22	1-8
Normalfordelt intelligens	S2	E15	1-8
Normalfordelte hjortebukker	S2	V15	1-7
Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm	S2	E22	2-6
Normalfordelte vinterdekk	S2	H23	2-3
Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn	S2	H23	2-5
Hildes terningkast	S2	V24	1-6
Normalfordelt laks	S2	V24	1-4
Figurer som viser normalfordeling	S2	H24	1-4
Vekten til poteter	S2	H21	1-6
Hypotesetest bensin	S2	V25	1-6
Normalfordelt hoppkonkurranse	S2	V25	2-2
Finn riktig graf for normalfordelingene	S2	H25	1-5
Hypotesetest - vannflasker S2 V26	S2	V26	1-5
Programmering og normalfordeling - simulering S2 V26	S2	V26	1-7

Oppgave	Fag	År	Oppg
Løpstid til Krigsskolen	S2	H19	2-3
Fremskrittspartiet og hypotesetest	S2	V20	2-1
Levetid til temperaturfølere	S2	H20	2-3
Bruddstyrke fiskesene	S2	V21	2-3
Kaffefabrikken og hypotesetest	S2	V22	2-2
Sjokoladeplater og hypotesetest	S2	H22	2-3
Hypotesetest med terninger	S2	E22	2-3
Hypotesetest med smak av cola	S2	V23	2-3
Hypotesetest om russetid	S2	V19	2-5
Normalfordelte vinterdekk	S2	H23	2-3
Hypotesetest om legemiddel	S2	V24	2-2
Hypergeometrisk hypotesetest	S2	H24	2-2
Hypotesetest bensin	S2	V25	1-6
Hypotesetester om komponenter som er defekte	S2	H25	2-3
Hypotesetest - vannflasker S2 V26	S2	V26	1-5

Selvbetjeningskasse og hypotesetest

a

b

c

d

e

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Binomisk

Normalfordeling

Hypotesetest