Hypotesetest om legemiddel
Et smertestillende legemiddel, A, er tilgjengelig på markedet. Legemiddelet demper smerte for mange pasienter, men ikke for alle.
- Sannsynligheten for at legemiddel A virker på en pasient, er 75 %.
- Vi tester legemiddel A på \(n\) pasienter.
- Legemiddel A virker på \(X\) av disse pasientene.
- Hvilken sannsynlighetsfordeling har \(X\)? Begrunn svaret ditt.
Regn ut \(P(X=9)\) når \(n=12\).
Et nytt legemiddel, B, skal også dempe smerte hos pasienter.
- Legemiddel B er testet ut på 10 pasienter.
- Legemiddel B virket på 9 av disse 10 pasientene.
- La \(p\) være sannsynligheten for at B virker på en pasient. Gjennomfør en hypotesetest med signifikansnivå på 5 %. Bruk denne til å vurdere om du kan si at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn A.
Legemiddel B blir gitt til 200 pasienter.
- Hvor mange pasienter må legemiddel B minst virke på for at vi skal kunne konkludere med at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn legemiddel A? Bruk et signifikansnivå på 5 %.
a) Binomisk. 0,2581
b) Vi kan ikke si at B fungerer bedre.
c) 100
a
\(X\) er binomisk fordelt fordi
- Vi har \(n\) delforsøk
- Sannsynligheten for at legemiddelet fungerer er \(p=0{,}75\) i alle forsøkene
- Vi må anta at vi tester legemiddelet på tilfeldige pasienter slik at delforsøkene blir uavhengige.
Jeg bruker GeoGebras sannsynlighetskalkulator til å bestemme \(P(X=9)\).
Du kan også finne denne punktsannsynligheten enkelt med formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling
b
Nullhypotesen vår er at begge legemidlene er like effektive, mens den alternative hypotesen er at legemiddel B er bedre.
Jeg finner sannsynligheten for at legemiddel B skal ha fungert på 9 av 10 pasienter gitt at \(H_{0}\) er sann ved hjelp av GeoGebra.
\(p\)-verdien er 0,244, dette er større enn signifikansnivået 0,05. Vi kan ikke forkaste \(H_{0}\), og vi kan dermed ikke si at legemiddel B fungerer bedre enn legemiddel A.
c
Denne oppgaven lar seg fint løse i GeoGebra ved å prøve seg fram med binomisk fordeling. Av gammel vane har jeg valgt å bruke normalfordeling som en tilnærming til den binomiske. Dette gir meg også mulighet til å skrive inn signifikansnivået 0,05 i svarfeltet i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.
Siden \(\text{Var}(X)\) er høy så er normalfordelingen en veldig god tilnærming, og vi får samme svar uansett hvilken fordeling vi velger.
Jeg lar \(Y\) være antallet pasienter som legemiddel B fungerer for av de 200 pasientene. \(Y\) er tilnærmet normalfordelt siden \(\left( \text{Var}(Y)=200 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25 \right) \gg 5\).
Jeg legger inn normalfordelingen med \(\mu=200\cdot 0{,}75\) og \(\sigma=\sqrt{ 200 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25 }\). Deretter la jeg inn signifikansnivået 0,05 i svarfeltet, det gir oss at \(Y\) må være minst 160,07. Vi må runde opp til 161 for å være sikre på at \(p\)-verdien blir lavere enn signifikansnivået.
For å konkludere med at legemiddel B virker bedre enn A må det virke på minst 161 av de 200 pasientene.