Gule drops i poser
En bedrift produserer drops. 20 % av dropsene er gule, og resten er røde. Dropsene blir tilfeldig fordelt i poser. Det er 100 drops i hver pose.
La \(X\) være antall gule drops i en tilfeldig valgt pose.
Vi kan anta at \(X\) er en binomisk fordelt variabel.
- Vis at \(\text{E}(X) = 20\) og \(\text{Var}(X) = 16\).
I resten av oppgaven går vi ut fra at \(X\) er tilnærmet normalfordelt.
- Bestem sannsynligheten for at det er 25 eller flere gule drops i en tilfeldig valgt pose.
- Lag en skisse som viser sannsynlighetsfordelingen til \(X\). Skraver området som illustrerer svaret i oppgave b).
- Bestem \(a\) slik at \(P(20 - a \leq X \leq 20 + a) = 0{,}90\).
Hva forteller intervallet \([20 - a, 20 + a]\) oss i denne situasjonen?
a) \(\text{E}(X) = 20\), \(\text{Var}(X) = 16\)
b) \(P(X \geq 25) \approx 0{,}1303\)
c) Skisse
d) \(a \approx 6{,}58\)
a
\(X\) er binomisk fordelt med \(n = 100\) og \(p = 0{,}20\).
b
\(X\) er tilnærmet normalfordelt med \(\mu = 20\) og \(\sigma = \sqrt{16} = 4\).
Vi bruker halvkorreksjon og finner \(P(X \geq 24{,}5)\):
(Den eksakte binomiske sannsynligheten er \(0{,}1314\).)
c
Vi tegner en normalfordelingskurve med \(\mu = 20\) og \(\sigma = 4\). Området til høyre for \(x = 24{,}5\) skraveres. Dette området representerer \(P(X \geq 25)\).
d
Vi skal finne \(a\) slik at \(P(20 - a \leq X \leq 20 + a) = 0{,}90\).
Siden \(X\) er tilnærmet normalfordelt med \(\mu = 20\) og \(\sigma = 4\), standardiserer vi:
Symmetrien gir:
Vi slår opp i normalfordelingstabellen og finner \(z_{0{,}95} = 1{,}6449\).
Intervallet \([20 - 6{,}58, \; 20 + 6{,}58] = [13{,}42, \; 26{,}58]\) forteller oss at det er 90 % sannsynlighet for at en tilfeldig valgt pose inneholder mellom ca. 13 og 27 gule drops.