Sannsynlighet for skytter Arne Treff
Skiskytter Arne Treff skal skyte en serie på tre skudd. Det har tidligere vist seg at Arne treffer på 80 % av skuddene sine. Vi antar at alle skuddene er uavhengige av hverandre.
Oppgave
- Bestem sannsynligheten for at Arne treffer på begge de to første skuddene.
- Bestem sannsynligheten for at Arne treffer på nøyaktig to av de tre skuddene.
- Bestem sannsynligheten for at Arne treffer på høyst ett av de tre skuddene.
Fasit
a) \(0{,}64\)
b) \(0{,}384\)
c) \(0{,}104\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
La \(p = 0{,}8\) være sannsynligheten for treff og \(q = 1 - p = 0{,}2\) sannsynligheten for bom.
a
Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene:
\[P(\text{treff på begge de to første}) = p \cdot p = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = \underline{\underline{0{,}64}} \]
b
Arne treffer på nøyaktig to av tre skudd. Det betyr at han bommer på nøyaktig ett skudd. Det er \(\binom{3}{2} = 3\) måter å velge hvilke to skudd som er treff.
\[P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 3 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2 = \underline{\underline{0{,}384}} \]
c
Høyst ett treff betyr \(X = 0\) eller \(X = 1\).
\[P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}8^0 \cdot 0{,}2^3 = 0{,}008 \]
\[P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}8^1 \cdot 0{,}2^2 = 3 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}04 = 0{,}096 \]
\[P(X \leq 1) = 0{,}008 + 0{,}096 = \underline{\underline{0{,}104}} \]