Romfordeling og kombinatorikk på hyttetur S1 V26
Anastasia, Bianka, Carlotta, Diana og Elena er på hyttetur sammen. På hytta er det to soverom, ett med plass til to personer og ett med plass til tre personer.
Jentene skal fordele seg på de to rommene slik at det er én person per plass. Vi bryr oss ikke om hvem som tar hvilken plass innad på rommene.
- På hvor mange måter kan jentene fordele seg på de to rommene?
Anastasia var sjåfør da de kjørte til hytta. Hun får lov til å velge rom først. Når hun har valgt rom, skal de andre fordele seg ved loddtrekning.
Anastasia vet at Elena av og til står opp veldig tidlig. Hun velger derfor taktisk for å minimere sannsynligheten for å sove på samme rom som Elena.
- Bestem sannsynligheten for at Anastasia må sove på samme rom som Elena.
Etter noen dager skal jentene bytte til en annen hytte med tre soverom. Der er det ett rom med plass til tre personer og to rom som begge har plass til to personer.
Nå er vi ikke interessert i hvilket rom jentene sover på, bare hvem som sover sammen med hvem.
- På hvor mange forskjellige måter kan jentene gruppere seg?
a) \(\mathbf{10}\) måter
b) \(\mathbf{P = \dfrac{1}{4}}\)
c) \(\mathbf{35}\) grupperinger
a
Vi skal velge 2 av 5 jenter til det lille rommet (2 plasser). Resten går automatisk til det store rommet.
Det er altså 10 måter jentene kan fordele seg på de to rommene.
(Alternativt: \(\binom{5}{3} = 10\) — velg hvem som går til det store rommet, samme svar.)
b
Anastasia velger rom først. Hun har to valg:
Alternativ 1 – Anastasia velger det lille rommet (2 plasser):
Det er 1 ledig plass igjen på hennes rom. De 4 gjenværende jentene loddes om alle plassene (1 plass på lite rom + 3 plasser på stort rom). Sannsynligheten for at Elena havner på den ene ledige plassen på Anastasias rom:
Alternativ 2 – Anastasia velger det store rommet (3 plasser):
Det er 2 ledige plasser igjen på hennes rom. Sannsynligheten for at Elena havner på ett av de 2 ledige plassene:
Anastasia velger taktisk: Hun velger det lille rommet for å minimere sannsynligheten.
c
Rommene har plass til 3, 2 og 2 personer (til sammen 7 plasser), men det er bare 5 jenter. Siden vi bare bryr oss om hvem som sover sammen med hvem, teller vi delinger av de 5 jentene i grupper – der ingen gruppe kan være større enn 3 (det største rommet), og det er høyst 3 grupper (3 rom).
De mulige gruppestørrelsene (partisjoner av 5 som får plass) er:
Tilfelle 1: en trio + et par (3 + 2)
Velg de 3 som deler det store rommet; de to siste danner paret automatisk.
Tilfelle 2: en trio + to som sover alene (3 + 1 + 1)
Velg de 3 i trioen; de to siste sover hver for seg.
Tilfelle 3: to par + en som sover alene (2 + 2 + 1)
Velg først den som sover alene (\(5\) måter). De 4 andre deles i to par.
Vi deler på \(2\) fordi de to parene er likeverdige – det spiller ingen rolle hvilket par som er «par 1».
Til sammen:
Jentene kan gruppere seg på 35 forskjellige måter.