Grenseverdier med algebraisk forenkling
Oppgave
Bestem grenseverdiene
- \(\lim_{x\to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}\)
- \(\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)
Fasit
a) Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi ser at nevneren går mot null når \(x\to 3\), mens telleren går mot \(3 \cdot (9-3)=3\cdot 6 = 18\).
La oss se hva som skjer når vi nærmer oss \(3\) fra venstre side. Jeg velger \(x=2{,}5\) for å få en følelse for tallene.
\[\frac{3(2{,}5^{2}-3)}{2{,}5-3}=\frac{3(6{,}25-3)}{-0{,}5}=\frac{3 \cdot 3{,}25}{-0{,}5} = -19{,}5\]
Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere \(3\) ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.
\[\lim_{ x \to 3^{-} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= -\infty \]
Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)
\[\frac{3(3{,}5^{2}-3)}{3{,}5-3}=\frac{3(12{,}25-3)}{0{,}5}=\frac{3 \cdot 9{,}25}{0{,}5} \approx 55\]
Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.
\[\lim_{ x \to 3^{+} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= \infty \]
Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.