Grenseverdier
Oppgave
- Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
\[\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \]
b)
- Bestem \(a\) slik at grenseverdien eksisterer:
\[\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8} \]- Bestem grenseverdien for denne verdien av \(a\).
Fasit
a) Grenseverdien eksisterer ikke
b) \(a = 3\), grenseverdi \(= \dfrac{1}{6}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi faktoriserer nevneren: \(x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)\).
Nevneren går mot 0 når \(x \to -2\), mens telleren gir
\[(-2)^2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0 \]
Siden teller \(\to 14\) og nevner \(\to 0\), eksisterer ikke grenseverdien.
b
Del 1 – bestemme \(a\):
For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også gå mot 0 når \(x \to -2\) (siden nevneren gjør det). Vi krever
\[(-2)^2 + a(-2) + 2 = 0 \implies 4 - 2a + 2 = 0 \implies a = 3 \]
\(\underline{\underline{a = 3}}\)
Del 2 – beregne grenseverdien:
Med \(a = 3\): teller \(= x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\).
\[\lim_{x \to -2} \frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x+1}{x-4} = \frac{-2+1}{-2-4} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \]
Grenseverdien er \(\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}\).